Licenciatura en matematica

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TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS
Curso 2009/2010

Prof. Marta Macho Stadler

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Marta Macho Stadler
Departamento de Matem´ ticas
a
Facultad de Ciencia y Tecnolog´a
ı
Universidad del Pa´s Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea
ı
Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa
e-mail: marta.macho@ehu.es
http://www.ehu.es/∼mtwmastm
Tlf: +34 946015352
Fax: +34 946012516

Portada: Transparence,de Jean-Yves Piffard, http://www.piffard.ch/
Un especial agradecimiento al artista Jean-Yves Piffard, por permitirme usar una de sus
obras en la portada.

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Indice general
Introducci´ n
o

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1. Conjuntos y aplicaciones
1.1. Nociones de L´ gica . . . . . . . . . . . . .
o
1.1.1. S´mbolos y conectores . . . . . . .
ı
1.1.2. Los objetos del razonamiento . . .
1.1.3. Condicionesnecesarias y suficientes
1.1.4. Los m´ todos de demostraci´ n . . .
e
o
1.2. Teor´a de conjuntos . . . . . . . . . . . . .
ı
1.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . .
1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . .
1.5. Propiedades de los n´ meros reales . . . . .
u
1.6. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . .
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Espacios m´ tricos
e
2.1. Definici´ n de espacio m´ trico . . . . . . .
o
e
2.1.1. Definici´ n de distancia . . . . . . .
o
2.1.2. Distancia entre conjuntos . . . . . .
2.1.3. Isometr´as . . . . . . . .. . . . . .
ı
2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas . . . . . .
2.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . .
2.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . .
2.3.2. Topolog´a inducida por una m´ trica
ı
e
2.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . .
2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto
2.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . .
2.4.2. Interior de un conjunto . . . . . ..
2.4.3. Frontera de un conjunto . . . . . .
2.5. Subespacios de un espacio m´ trico . . . . .
e

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Indice general

4

2.6. Di´ metro de un conjunto. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . .
a
2.7. Conjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Continuidad en espacios m´tricos
e
3.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . .
3.2. Aplicaciones continuas y subespacios .
3.3. Aplicaciones uniformemente continuas .
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

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