Licenciatura en Matemáticas y Computación

“ESTIMACIÓN DEL ERROR NUMÉRICO DE
APROXIMACIÓN EN LAS SOLUCIÓN DE UN
PROBLEMA DE VALOR INICIAL REGIDO POR UN
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES”
ROSA VIRGINIA HERNÁNDEZ
CÚCUTA – 2013

Orden de la presentación
1.Conceptos previos
2.Teoría elemental de los problemas de
valor inicial.
3.Algoritmos Numéricos para la solución
de problemas de valor inicial.
3.1 Métodos de un paso
3.2Métodos Multipaso

Fundamentación conceptual
La notación 𝐹(𝑡, 𝑦, 𝑦 ′ ) o a veces escrita como

𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦)
Representa una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO), la cual sólo
contienen a 𝑦 ′ , pueden incluir a 𝑦 así como a funciones dadas de t.
A la ecuación diferencial

𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), para 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,

acompañada de la condición 𝑦(𝑎) = 𝛼
Se le conoce como problema devalor inicial (PVI).

En general las soluciones a la EDO están dadas por la expresión de la forma:
𝑦 𝑡 = 𝐶+

𝑓(𝑡, 𝑦 𝑡 . 𝑑𝑡

Donde C es una constante arbitrariamente elegida. A esta familia de soluciones se le
conoce como solución general a la EDO.

Sistemas PVI de EDO
Un sistema de orden 𝒎 de problemas de valor inicial de primer orden se puede expresar
en la forma
𝑑𝑢1
= 𝑓1 𝑡, 𝑢1 , 𝑢2, … , 𝑢 𝑚 ,
𝑑𝑡
𝑑𝑢2
= 𝑓2 𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢 𝑚
𝑑𝑡
.
.
.
𝑑𝑢 𝑚
= 𝑓 𝑚 𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢 𝑚 ,
𝑑𝑡
para 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, con las condiciones iniciales
𝑢1 𝑎 = 𝛼1
𝑢2 𝑎 = 𝛼2
.
.
.
𝑢𝑚 𝑎 = 𝛼𝑚
Solucionar este sistema es pretender encontrar 𝒎 funciones 𝒖 𝟏 , 𝒖 𝟐 , … , 𝒖 𝒎 que satisfagan
las ecuaciones diferenciales del sistema y las condiciones iniciales.

PVI REGIDO POR UN SISTEMA DE ECUACIONESDIFERENCIALES
Una ecuación diferencial general de orden m de la forma
𝑦

𝑚

𝑡 = 𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 ′ , . . , 𝑦

𝑚−1

,

𝑎≤ 𝑡≤ 𝑏

Con condiciones iniciales 𝑦 𝑎 = 𝛼1 , 𝑦 ′ 𝑎 = 𝛼2 , … . . , 𝑦 (𝑚−1) 𝑎 = 𝛼

𝑚

Puede convertirse en un sistema de ecuaciones de la forma anterior, haciendo:
𝑢1 𝑡 = 𝑦 𝑡 ,

𝑢2 𝑡 = 𝑦 ′ 𝑡 , … … , 𝑢

𝑚

𝑡 = 𝑦 (𝑚−1) 𝑡 ,

Y al usar esta notación el problema, seobtiene un problema de primer orden
𝑑𝑢1
=
𝑑𝑡
𝑑𝑢2
=
𝑑𝑡
𝑑𝑢

𝑚−1

𝑑𝑡

𝑑𝑦
= 𝑢2 ,
𝑑𝑡
𝑑𝑦 ′
= 𝑢3
𝑑𝑡
.
.
.
𝑑𝑦 (𝑚−2)
=
= 𝑢 𝑚,
𝑑𝑡

En general

𝑑𝑢 𝑚
𝑑𝑡

=

con condiciones iniciales

𝑑𝑦 (𝑚−1)
𝑑𝑡

= 𝑦 (𝑚) = 𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 ′ , . . , 𝑦

𝑚−1

= 𝑓(𝑡, 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢 𝑚 )

𝑢1 𝑎 = 𝑦 𝑎 = 𝛼1
𝑢2 𝑎 = 𝑦 ′ 𝑎 = 𝛼2
.
.
.
(𝑚−1) = 𝛼
𝑢𝑚 𝑎 = 𝑦
𝑚

Por este motivo los métodosnuméricos se plantean habitualmente sobre

problemas de valor inicial regido por ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden.

EJEMPLO PVI REGIDO POR UN SISTEMA DE EDO
En el estudio de algunas capas límites de flujos laminares aparece la denominada ecuación
de Blasius que es una EDO de la forma:
𝑦 ′′′ 𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑦 ′′ 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0
con condiciones iniciales: 𝑦 0 = 𝑦 ′ 0 = 0,

𝑦 ′′ 0 =𝛼

con 𝛼 = 0,47 es un constante conocida.
Este PVI es equivalente al sistema de PVI de primer orden. Luego de hacer
𝑢1 𝑥 = 𝑦 𝑥 ,
𝑢2 𝑥 = 𝑦 ′ 𝑥 , 𝑢3 𝑥 = 𝑦 ′′ 𝑥
Se obtuvo el sistema equivalente

𝑢′ 3

𝑢′1 𝑥 = 𝑢2 𝑥 ,
𝑢′ 2 𝑡 = 𝑢3 𝑥
𝑥 = 𝑢′1 𝑥 = −𝑢1 𝑥 . 𝑢3 𝑥

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0,
y las condiciones iniciales 𝑢1 0 = 0,

𝑢2 ′ 0 = 0, 𝑢′′ = 0,47

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Al abordar un PVIinicial es necesario preguntarse:
¿Existe solución al problema? , Si existe la solución ¿es única?
En caso de que exista que sea estable: es decir que pequeños cambios en las
condiciones iniciales o en la ecuación originaran también cambios pequeños en la
solución. Esta es la situación habitual ya que como mínimos se cometerán errores de
redondeo
Definición. (Constante de Lipschistz)
Se dice queuna función 𝑓(𝑡, 𝑦) satisface una condición de Lipschitz para la variable 𝑦 en
un conjunto 𝐷 ⊂ 𝑅2 , si existe una constante 𝐿 > 0 con la propiedad de que
𝑓 𝑡, 𝑦1 − 𝑓(𝑡, 𝑦2 ) ≤ 𝐿 𝑦1 − 𝑦2
Siempre y cuando 𝑡, 𝑦1 , (𝑡, 𝑦2 ) ∈ 𝐷.
Definición (Conjunto convexo)
Se dice que un conjunto 𝐷 ⊂ 𝑅2 es convexo, siempre que 𝑡, 𝑦1 , 𝑡, 𝑦2 ∈ 𝐷,
1 − 𝜆 𝑡1 + 𝜆𝑡2 , 1 − 𝜆 𝑦1 + 𝜆𝑦2 también pertenece a 𝐷 para...