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ECUACIONES RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1:









3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 + 3x - x2 + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las formas de resolver estas ecuaciones es buscando un denominador común entre todos los denominadores de las fraccionesde ambos miembros (ver otros métodos). En la EXPLICACIÓN mostraré otras formas de resolver esta ecuación.
Luego de buscar el denominador común y modificar los numeradores como se hace en la suma de fracciones, se pueden cancelar los denominadores de ambos miembros, ya que son iguales. Entonces sólo queda una ecuación entre los numeradores, la cual ya no es racional. Y hay que aclarar la Condiciónde existencia, es decir qué valores no puede tomar la x, ya que los denominadores deben ser desiguales a 0. Luego, la solución que se encontró tiene que cumplir con la Condición de existencia, sino no es solución de la ecuación.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Uno de los miembros es un solo número)









(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2

x2 + 3x + 2x + 6 + 3 =x2 + 6x + 9

x2 + 5x - x2 - 6x = 9 - 6 - 3

-x = 0

x = 0

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {0}

En el segundo miembro hay sólo un número entero, no una fracción ni operaciones. En este ejercicio sería más práctico usar otro de los métodos para resolver estas ecuaciones (ver métodos), y en la EXPLICACIÓN lo muestro también resuelto de esa manera.


EXPLICACIÓN DELEJEMPLO 2




EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)







(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15

9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2 - x2 = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}

Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dos fracciones o "razones". La forma más práctica deresolverla sería usar la Propiedad fundamental de las proporciones, pero aquí usé en mismo método que vengo usando en todos los ejemplos (en general se aprende un sólo método y hay que saber aplicarlo en cualquier ejemplo). Pero en la EXPLICACIÓN lo muestro resuelto usando la mencionada propiedad.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el número cero)(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0

x2 + 7x + 10 - x2 + 2x + 4x - 8 = 0

13x = 0 + 8 - 10

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-2/13}

Caso particular en que uno de los dos miembros es cero. Aquí no hace falta poner el denominador común en el segundo miembro, aunque podría hacerse. Enrealidad, si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a cero, sin que importe el denominador (que no puede ser cero, por supuesto). Usando este concepto es que se cancela el denominador en el tercer paso.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5:







3x - 2 + 5x2 - 2x = 5x2

3x + 5x2 - 2x - 5x2= 2

x = 2

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjuntosolución: {2}

Al igual que en el EJEMPLO 2, sería más práctico hacerlo de otra manera, que muestro en la EXPLICACIÓN. Pero preferí mostrar aquí todos los ejemplos resueltos con el mismo procedimiento para no confundir. En las EXPLICACIONES están todos los comentarios al respecto.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5




EJEMPLO 6: (No se cumple la Condición de existencia)







x2 - 1 -x2 - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: Ø (vacío) (no tiene solución)

Este es un ejemplo donde la ecuación no tiene solución. Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta no verifica la ecuación, ya que hace que los denominadores den cero. Es decir: no cumple la Condición de existencia....