Licenciatura

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Límites y continuidad

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS LÍMITES Y CONTINUIDAD
ENTORNOS
Se denomina entorno de unpunto semiamplitud del intervalo. El entorno de

a en x , al intervalo abierto (a − δ , a + δ ) donde δ es la

a , en notación de conjuntos puede escribirse como: {x a − δ < x < a + δ}, o bien comox−a 0

tal que

L de una función f (x ) es necesario que se forme un entorno de L en f ( x ) siempre y cuando se pueda generar un entorno reducido de a en x .
Se puede deducir de la definición,que para que exista el límite

x ≠ a}, donde δ y ε pueden se tan pequeñas como se desee, por lo que se pueden generar una infinidad de entornos cada vez más pequeños, siempre que x ≠ a . Esto puedeinterpretarse como la formación de rectángulos cada vez más pequeños que incluyan al punto (a, L ) . a − δ < x < a + δ,
Gráficamente esto es:

Dado

{x

que

el

entorno

de

L es:{y

L − ε < y < L + ε}, el entorno reducido de a es:

y
L+ε L+ ε1 L+ε L+ ε2 L+ε L+ ε3 L+ε L+ ε4 L L - ε4 L - ε3

y = f(x)

L - ε2 L - ε1 a-δ1 a -δ 2 a -δ 3 a -δ 4 a a+δ a+ δ4 a+δ a+ δ3 a+δ a+δ 2 a+δ a+ δ1

x

Nótese como cada entorno , y a medida que

δ tiende a cero (sin llegar a serlo), también ε tiende a cero.
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L − ε i < y < L + ε i se forma respondiendo a los entornos a − δi < x < a + δ i

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Límites y continuidad

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

En caso de existir, el límite se representa en forma simbólicacomo:

lim f ( x ) = L
x →a

y se lee: “el límite de

f (x ) cuando x tienda hacia a es L ”.

Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de unafunción existe, es único: El límite existe si el límite por la izquierda, y el límite por la derecha, son iguales.

lim f ( x )
x→a x →a −

lim f (x ) lim f (x )

x →a +

Estos dos últimos...