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PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES
Existen ciertos productos que se presentan con frecuencia y han sido clasificados como productos notables o productos especiales, los cuales se estudian a continuación:
* Productos notables
* Cuadrado de la suma de dos cantidades (binomio al cuadrado)
En que a y b representan números algebraicos cualesquiera, positivos o negativos. Aplicando laregla de multiplicación de polinomios se obtiene:

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

a + b
a + b
a2 + ab
ab + b2
a2 + 2ab + b2 o sea (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

“ el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el doble de la primera cantidad por la segunda mas el cuadradado de la segunda “

Ejemplos:
Desarrollar: ( x + 4)2 =x2 + 8x + 16

(4 a + 5 b 2 ) 2= 16 a2 + 40 ab2 + 25 b4

Ejercicios:
1.- (m + 3) 2 = m2 + 6m + 9

2.- (a2 x + b y 2 )2 = a4 x2 + 2 a2 b x y2 + b2 y4

3.- ( a m + a n ) 2 = a 2m + a 2n

* Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
este caso es solo cuando los dos monomios sean negativos.
“ el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primeracantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad”

( a – b ) 2 = (a-b) (a-b)
a - b
a - b
a2 - ab
ab + b2
a2 - 2ab + b2 o sea (a-b)2 = - a2 - 2ab + b2

* Nota: el signo + delante de 2ab, inidica simplemente que el producto de los dos términos del binomio se toman con su propio signo, es decir, el quecorresponde según la regla de los signos. Los términos a2 y b2 son siempre positivos.

Ejemplos: (4a – 3x)2 = 16a 2 – 24 ax + 9 x2

Ejercicios:
1.- (9 – a ) 2 = 81 – 18 a + a 2

2.- ( 4 a x – 1 ) 2 = 16 a2 x2 – 8 a x + 1

3.- ( x a+1 – 3x a-2 ) 2 = x 2a+2 – 6 x 2a-1 + 9 x2a-4

* Produto de la suma por la diferencia de dos cantidades ( binomio conjugado)
Sea multiplicar a+bpor a –b; binomios que solo difieren por el signo del segundo termino y que se llamaban binomios .
( a + b ) ( a – b )
a + b
a - b
a2 + ab
- ab - b2
a2 - b2 o sea (a-b) ( a+b) = a2 - b2
“ la suma de dos c antidades miltiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo ( em la diferencia ) menos el cuadrado del sustraendo”Ejemplo: efectuar
( 2 a + 2 b ) ( 2 a – 3 b )= ( 2a )2 – (3b)2 = 4 a2 – 9 b 2

Ejercicios:
1.- ( x2 + a 2 ) ( x2 - a 2 ) = x2 – a4
2.- (6 x 2 – m 2 x ) (6 x 2 + m 2 x ) = 36 x 4 – m 4 x 2
3.- ( x + y ) ( x – y ) = x 2 – y 2

* Cubo de un binomio
Sea el binomio a + b, en que a y b representan términos algebraicos cualesquiera, positivos negativos.
1.- ( a + b ) 3 = ( a + b ) (a + b) ( a + b ) = ( a + b ) 2 ( a + b ) = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a + b )

a 2 + 2 a b + b 2
a + b
a3 + 2 a 2 b + a b 2
a 2 b + 2 a b2 + b 3
a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 o sea ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
“ el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el tripledel cuadrado de la primera por la segunda, mas el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, mas el cubo de la segunda”


2.- ( a - b ) 3 = ( a - b ) 2 ( a - b ) = ( a 2 - 2 a b + b 2 ) ( a - b )

a 2 - 2 a b + b 2
a - b
a3 - 2 a 2 b + a b 2
- a 2 b + 2 a b2 - b 3
a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 o sea ( a - b ) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3 a b 2 - b 3
“El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, mas el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad ”
Ejemplos:
(4x + 5) 3 = ( 4x) 3 + 3 (4x) 2 (5) + 3 (4x) ( 5 2 ) = 64 x 3 + 240 x 2 + 300 x + 125

( x – 2 )...