Lim Y Continuidad

TEMA : LÍMITES Y CONTINUIDAD


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* Entorno.




“Se llama entorno ó vecindad de un punto a en R, al intervalo abierto ( a – δ , a + δ )

en donde δ es la semi-amplitud ó radio del intervalo”

δQ( a , δ ) = ( a – δ , a + δ )

R ó también
a – δ a a + δ

2δ │ x – a │ < δ







* Entorno Reducido




“Se llama entorno reducido de un punto a en R, al intervalo abierto ( a – δ , a + δ )

en donde δ es la semi-amplitud ó radio del intervalo, y no se incluye al punto a”


Q’( a , δ ) = x │a – δ < x < a + δ ; x ≠ a

R ó también
a – δ a a + δ

2δ 0 < │ x – a │ < δ









|* Ejercicio: Para f( x ) = - 2x2 + 8x – 4 , determinar el entorno Q’( 3 , 1 ) en un plano cartesiano. |
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|Y si ahora reducimos el entorno a Q’( 3 , 1/2 ) |
|[pic] ||Y si ahora reducimos el entorno a Q’( 3 , 1/100 ) |
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Como se puede ver cuando x → 3 entonces f( x ) → 2 , y ocupa el hoyoque la curva presentaba en su gráfica.

Por eso en ocasiones, se dice que el límite de una función es averiguar cuánto valdría la función para un punto x, pero sin estar formalmente en él.


* Definición de Límite

“Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L , si para todo épsilon mayor que cero, por pequeño que éste sea, existe un delta mayor que cero, tal que f(x) menos L envalor absoluto es menor que épsilon, siempre que x menos a en valor absoluto es mayor que cero y menor que delta.”



Se dice que lim f ( x ) = L si V ε > 0 existe δ > 0
x→a

tal que │ f ( x ) - L│ < ε siempre que 0 < │ x – a │ < δ







* Limites de las funciones Constante e Identidad


lim f ( x ) = lim k = k limf ( x ) = lim x = a
x→a x→a x→a x→a



* Teoremas sobre límites.

a) Una función no puede tener dos límites distintos cuando x→a (UNICIDAD).

b) Si dos funciones son iguales en un entorno reducido de un punto, y una de ellas tiene límite, entonces
la otra también tiene límite y ambos son iguales.

c) Si una función es nonegativa en un entorno reducido de un punto, su límite en él no puede ser
negativo.

d) Si una función es no positiva en un entorno reducido de un punto, su límite en él no puede ser
positivo.

e) Si en un entorno reducido de un punto, cierta función f se mantiene acotada entre otras dos funciones,
y éstas tienen límites iguales en el punto, entonces la función f tambiéntiene límite y su valor es el de
los límites iguales.


* Teoremas sobre operaciones con límites.


a) lim k f( x ) = k lim f(x) b) lim [ f( x ) + g( x ) ] = lim f( x ) + lim g( x )
x→a x→a x→a x→a x→a



c) lim [ f( x ) • g( x ) ] = lim f(x) • lim g( x ) d) lim [ f( x )...