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MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

L´ımites-Continuidad

SOCIALES

L´ımites y
Continuidad

MaTEX

Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

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Tabla de Contenido
Inicio Art´ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es
26 de abril de 2004

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Introducci´
on
2. ¿Qu´
e es un l´ımite?
2.1. C´
alculo de l´ımites usandotablas
2.2. Algebra de los l´ımites
3. L´ımites laterales
4. L´ımites Infinitos
5. L´ımites en el Infinito
6. L´ımites Indeterminados
7. C´
alculo de l´ımites Indeterminados
7.1. Calculo de l´ımites 00
• Por factorizaci´
on • Por el conjugado
∞
7.2. Calculo de l´ımites ∞
• Por divisi´on de la mayor potencia
7.3. Calculo de l´ımites ∞ − ∞
• Se hacen operaciones • Por el conjugado
7.4. Calculo del´ımites a±∞
7.5. Calculo de l´ımites f (x)g(x)
8. El n´
umero e
8.1. Calculo de l´ımites 1±∞

r=A+lu
A

d
B
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MaTEX
L´ımites y
Continuidad

Tabla de Contenido

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9. Continuidad
9.1. ¿Qu´
e es una funci´
on continua?
9.2. Definici´
on de continuidad
10. Discontinuidad
10.1.Discontinuidad Evitable
10.2.Discontinuidad de salto finito
10.3.Discontinuidad de saltoinfinito
11. As´ıntotas
11.1.As´ıntota Vertical
11.2.As´ıntota Horizontal
11.3.As´ıntota Oblicua
12. Cuestionarios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

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MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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L´ımites y
Continuidad

Tabla de Contenido (cont.)

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1. Introducci´
on
El concepto de l´ımite es el fundamento del c´
alculo. En el sigloXIX, eminentes matem´aticos, Augustin-Louis Cauchy1 y Karl Weiertrass2 entre otros
trataron de precisar el concepto de l´ımite. Ellos lograron dar una definici´on
rigurosa de l´ımite, la definici´
on −δ, que aunque la incluimos en este cap´ıtulo
no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto.
El nivel de este cap´ıtulo es adecuado para alumnos de 4o de ESO y 1o deBachillerato.
Se incluye en este cap´ıtulo tambi´en el estudio del concepto de continuidad
de una funci´on que est´a basado en el concepto de l´ımite.
Se incide en la aplicaci´
on de los l´ımites para la representaci´on de funciones,
sobre todo las racionales en el c´
alculo de las as´ıntotas, horizontales, verticales
y oblicuas.

1
Eminente matem´
atico frances (1789-1857) que escribi´
o mas de 700art´ıculos, y fue
pintor, abogado y escalador.
2
Eminente matem´
atico alem´
an (1815-1897) que precis´
o la definici´
on de continuidad.

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

SOCIALES

MaTEX
L´ımites y
Continuidad

Secci´
on 1: Introducci´
on

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Secci´
on 2: ¿Qu´
e es un l´ımite?

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MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

2. ¿Qu´
e es un l´ımite?

A

l´ım f (x) = L

x→a

As´ıdecimos que l´ım x2 = 1 pues cuando x → 1, x2 → 1,
x→1

o tambi´en decimos que l´ım x2 = 4 pues cuando x → 2, x2 → 4,
x→2

o bien decimos que l´ım x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125.
x→5

Hay una definici´on formal de l´ımite pero por su dificultad se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva.

d
B
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L´ımites y
Continuidad

Para una funci´on matem´
atica y= f (x), en un punto x = a, la expresi´on
✭✭l´ımite de f (x) cuando x es tan pr´
oximo a a como queramos✮✮ (x → a), es el
valor al que se aproxima la funci´
on cuando el valor de x se acerca a a tanto
como se quiera, simb´olicamente lo escribimos de la forma

A continuaci´on usaremos una t´ecnica simple e intuitiva de calcular el
l´ımite dise˜
nando una tabla de valores para la funci´
on. Vamos averlo.

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Secci´
on 2: ¿Qu´
e es un l´ımite?

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r=A+lu

2.1. C´
alculo de l´ımites usando tablas

A

0.9
0.99
0.9999
↓
1−

2

x −1
x−1
1,9
2,1
1,99
2,01
1,9999 2,0001
↓
↓
2
2

1+ ← x
1.1
1.01
1.0001
↓
1+

x2 − 1
→ 2.
x−1
´ n Notar que x puede acercarse a 1 tanto como se quiera pero
Atencio
0
no puede ser 1 pues nos encontrar´ıamos con la expresi´on f (1) =
que no
0...