Limite De Funciones

Capítulo 10

Límites de funciones
En la segunda mitad del siglo XVII, Isaac Newton (Woolsthorpe 1642 - Londres 1727) y Gottfried Wilhelm Leibnitz (Leipzig 1646 - Hannover 1716) sentaron las bases de esa gran invención matemática que es el cálculo infinitesimal. Se coronó así un enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos, muchos y muy destacados matemáticos, ycuyos inicios se remontan a los métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Hoy podemos afirmar, sin dudarlo, que el concepto de límite constituye la herramienta fundamental del cálculo. Sin embargo, no fue sino hasta principos del siglo XIX que Augustin-Louis Cauchy (París 1789-Sceaux 1857) dió una sólida base matemática a la noción de límite, introduciendo de esa manera la«exactitud» en el análisis matemático. A lo largo de los casi 200 años que van desde Newton y Leibnitz hasta Cauchy, se produjeron extraordinarios avances en el análisis matemático y en sus aplicaciones a la física y la geometría, pero en un lenguaje que, a falta de rigor matemático, recurría a menudo a la intuición y se prestaba a interpretaciones confusas o erroneas. El concepto vago de«infinitamente pequeño», acuñado por Leibnitz, ha sido sustituido por el concepto preciso de límite, dado por Cauchy. Este es el concepto más importante del cálculo y, quizás, el más difícil también.

10.1 Límites de funciones de variable continua
Nos ocuparemos de enunciar de manera precisa la proposición: «el límite de la función f x es igual a L cuando x tiende a c»

10.1.1 Un ejemplo de límitePara empezar, consideremos un caso particular, por ejemplo, la función f x = x +3x 2 =x (figura 10.1 en la página 122 ). La función está definida para todos los valores reales de x distintos de 0, ya que, para x = 0, el denominador se anula. Si convenimos en considerar solamente valores de x próximos a 0, pero no el valor x = 0 (para el cual f x ni siquiera está definida), podemos dividir entre xtanto el numerador como el denominador, encontrando la fórmula más sencilla f x = 1 + 3x, que, vale la pena subrayar, define la función f x unicamente para x = 0. Si representamos el gráfico y = f x, vemos que, para valores de x «próximos» a 0, los valores correspondientes de y = f x se hallan «próximos» a 1. Para describir exactamente lo anteriormente expuesto, conviene hallar una fórmulaexplícita para la diferencia entre el valor f x y el número 1:

6

f x

1=

x + 3x2 x

1 = 1 + 3x

1 = 3x:

Es evidente que esta diferencia puede hacerse tan pequeña como se quiera limitando x a un entorno 1 suficientemente pequeño de 0. En particular, si queremos que sea f x 1 < 10 , bastará tomar x tal que

j

j

122

Límites de funciones

6

y

  1 3   u  0 
x

  e



  

2 y = x+3x x



x

-

2 Figura 10.1 El gráfico y = x+3x x

1 1 1 3 j x j< 10 , i.e., tal que j x j< 30 ; si queremos que sea j f x 1 j< 100 , bastará limitarse a considerar
aquellos números tales que cuan pequeño, será   1

1 j x j< 300 . En general: si " es un número positivo cualquiera, no importa " jf x j< " siempre y cuando sea j xj< , donde  = 3 . En efecto, si " x 6= 0 y j x j< 3 entonces j f x 1 j= 3 j x j< ":

10.1.2 Definición por "’s y  ’s
La situación planteada en el ejemplo anterior puede llevarse al marco general. Definición: La función   tiene límite igual a cuando tiende a si y sólo si, dado cualquier 0, existe 0 (que depende de ) tal que Dom ) si (para = y entonces   (figura 10.2 en la página 123 )x2

f x6 c

fx ">

>

L

x

"

c

j x c j< 

jf x

L j< ":

Si

f x tiene límite igual a L cuando x tiende a c, escribimos lim f x = L: x !c fx x =x x

10.1.3 Otro ejemplo de límite

Pasemos a considerar otro ejemplo. Sea   =  3 1  1. La función está definida unicamente para = 1, ya que para = 1 se anula el denominador. Vamos a analizar el comportamiento...