Limite de una funcion

Límite de una función
La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamosdos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha
x | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 1 | 1,001 | 1,01 | 1,1 |
f ( x ) | 2,71 | 2,9701 | 2,997001 | ¿? | 3,003001 | 3,0301 | 3,31 |
f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3

La figura 1 es lagráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal:Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos 
Definición de límite de una función
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , sipara cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que
si  entonces 
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x)cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.
Ejemplos 1.
1) Utilicemos la definición para demostrar que 
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.
Se debe demostrar que para cualquier  existe una tal que
si  entonces  (A)
si  entonces 
si  entonces si  entonces 
Entonces, si tomamos  se cumple la proposición (A). Esto demuestra que 
Tomando ,  luego, para esos valores de  y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.
2) Demostrarusando la definición de límite que 
Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,
si  entonces  (B)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego,  entonces,  por lo tanto,  De la proposición (B) seobtiene que, si  entonces  Si tomamos  se cumple la proposición (B), lo que demuestra que 
Ejercicios propuestos 1.
Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado.
1)
2)
3)
4)
Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.
Teorema 1. Límite de unafunción lineal.
Sea  donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.
Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.
Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.
Si  y , entonces

Ejemplo 5....