Limite de una funcion

Límite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.
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Definición formal
Funciones en espacios métricos

Visualización de losparámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a c será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - c| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε
El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulaciónmatemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.
Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que"el límite de f en c es L" y escribimos

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = c es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:
si , entonces
Observemos que la solución dela desigualdad 0 < | x - c | < δ es la siguiente:
x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ): x no toca el valor de c, pues
0 < | x - c | implica x distinto de c,
mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:
y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la xestá en la vecindad horizontal alrededor del punto "c" y agujereada en "c" con radio delta y centro "c", aun cuando en ese punto "c" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.
Unicidad del límite
Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único. |
Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4]
Supongamos que ,veamos que no puede ser que también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersecten. Por definición de límite para todo x en algún entorno agujereado de p, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.
Límite de una función en un punto
Sea f una función real, entonces

si y sólo si
para todo existe un tal que paratodo número real x en el dominio de la función

Notación formal:
Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

* Nota: se refiere al límite que tiende infinito y al límite cuando tiende 0 (no al número 0).
Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa,como los siguientes:
| | |
Propiedades de los límites
Si k es un escalar:
1. Límite de una constante:
2. Límite de la función identidad:
3. Producto de una función y una constante:
4. Límite de una suma:
5. Límite de una resta:
6. Límite de un producto:
7. Límite de un cociente:
8. Límite de una potencia:
9. Límite de un logaritmo:
10.Definión del número e como límite:
11. .
Límites trigonométricos
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6. 1. Presentación.
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9. El concepto de límite de una función es fundamental en todos los campos del cálculo. Baste decir que la derivada, que es el tema principal del curso de Cálculo Diferencial, es por definición un límite. También lo es el concepto de integral y...