Limite de una función

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

El concepto de límite es uno de los más importantes en el análisis matemático. Sobre el concepto de límite reside la definición de continuidad de una función en un punto así como la de derivabilidad de una función en un punto. Es por este motivo, que dedicaremos un gran espacio a estudiar este importante concepto. En particular, vamos a desarrollar suficiente destreza decálculo como para poder determinar, para cualquier función, la existencia del límite en un punto, es decir, la existencia de una cantidad real finita a la que converge la función al aproximarse a dicho punto, tanto desde valores superiores como inferiores a él.

Se afirma la existencia del límite cuando los límites por arriba y por debajo del punto considerado arrojan el mismo resultadonumérico. Estos límites reciben el nombre de límites laterales. Cuando coinciden, el límite existe y su valor es el de los dos límites laterales.

Definición:
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) esteconcepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Interpretación grafica:
En base a la representación gráfica y al razonamiento analítico, encontrar el límite de una función cuando no se puede encontrar su valor real en un punto determinado.
Evidencia de Procedimiento.
De acuerdo a la siguiente función establecer lagrafica correspondiente de acuerdo a los valores más cercanos de izquierda a derecha sin tocar el valor correspondiente.
[pic]
Analizar la serie de ambos lados e interpretar el resultado, realizando la notación para la representación de diferencias muy pequeñas.

Definición épsilon-delta

Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando xtiende a a es L, y se escribe  [pic]   
Si el siguiente enunciado es verdadero:
Dado cualquier [pic] sin importar cuan pequeña sea, existe un [pic] tal que si [pic]

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

1. [pic]

Solución

Teoremas de Límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definiciónÉpsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

[pic]Teorema de límite1:
Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,
[pic]
[pic]Teorema de límite3
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
[pic]

 [pic]Teorema de límite4:
[pic] [pic]Teorema de límite5:

[pic]
 
[pic]Teorema de límite6:
Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

[pic]
 
[pic]Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
[pic]
[pic]
Teorema de límite8:

[pic]

Procedimiento para calcular limites

Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores; el limitese calcula directamente con respecto a las propiedades; como la 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3 y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el limite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4(III)también.

Cuando al sustituir a por x en la función nos da la forma 0/0 es posible calcular el limite pero, previamente, hay que transformar la formula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero; para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.

 [pic]1. Solución:...