Limite de una sucesion

Límite de una sucesión

Límite finito

Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.
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También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si paracualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
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Límite infinito

Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.
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Se dice que unasucesión an tiene por límite − ∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.
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Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito (+∞ ó − ∞).

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor amenor o viceversa.
1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

Propiedades de los límites

1 El límite si existe es único.
2 Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismmo límite que an.
3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5 Todas lassucesiones monótonas y acotadas son convergentes.
6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

Infinitésimos

Una sucesión an es un infinitésimo si tiene por límite cero.
Propiedades:
1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.
3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo.
4 El producto deuna constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
5 Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.
6 Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Operaciones con límites

lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)
lim (an − bn) = lim (an) − lim (bn)
lim (an · bn) = lim (an) · lim (bn)
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lim k· an =k· lim an
lim ank = (lim an)k
lim loga an= loga lim an
Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:
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Estudio de las indeterminaciones

Infinito partido infinito

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Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Regla práctica

1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado ellímite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
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2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
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3 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
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Infinito menos infinito

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1. Sucesión entera.

Se saca factor común de la potencia de mayor exponente.Regla práctica:

El límite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

2. Sucesiones racionales.

Ponemos a común denominador, y si obtenemos [pic]resolvemos la indeterminación.

3. Sucesiones irracionales.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

Cero por infinito

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Se transforma a [pic].
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Cero patido por cero

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Se transforma a [pic]Uno elevado a infinito

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Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e .
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1er Método

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2º Método

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Ejercicios resueltos de límites de sucesiones

1

Demuestra que la sucesión [pic]tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
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A partir de a41 la...