Limite Funcional

Límite de una Función real de Variable real, en un punto.
METERIAL COMO PARA UNA CLASE METODOLIGICA INSTRUCTIVA.
Noción intuitiva del concepto de límite de una función real de variable real en un punto, mediante modelación gráfica.
Palabras Claves: Densidad e Intervalos en la recta numérica, Función, Inversa de una función, Dominio, Rango, aproximación, tendencia y Límite.
Objetivoespecifico de la Clase: Reconocer de manera intuitiva la noción de límite de una función, en un punto, mediante gráficas de funciones y Observar la utilidad de tablas de datos, como otra manera de interpretar el concepto de límite de una función.
COMPETENCIAS: Al término de la clase el estudiante debe ser capaz de reconocer y expresar la idea intuitiva del concepto Límite como un proceso de aproximacióne identificar, este modelo matemático, dándole la gráfica de una función.
DESARROLLO TEMATICO:
Condiciones Previas: Densidad de los números reales, Intervalos en R, procesos de aproximación, tendencia, en ambos ejes coordenados y sobre rectas y curvas de dicho plano cartesiano. Definición de Función real de variable real, así como en tablas numéricas.
Nueva Materia: Límite de una función en unpunto, mediante tablas de valores y por proyecciones inversas y directas en los ejes coordenados, según puntos vecinos. Presentación intuitiva de la idea de límite de una función en un punto, conocida su gráfica en un intervalo cómodo en R. Definición de límite de una función en un punto.
PRESENTACION, INTUITIVA, DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL (f: R → R) EN UNPUNTO DADO.
¿Qué sucede con las pre – imágenes de los valores de una función f cuando las variables independientes están próximas a un punto a? [Dicho punto a no tiene que ser parte del D(f), dicho más claramente, puede que a este en el interior del dominio de f, o que sea, un punto frontera que no sea parte de D(f), de lo contrario, no tiene caso este análisis]. La respuesta a esta pregunta, es elobjetivo central de esta Conferencia, así como en el futuro, por ser este concepto un modelo asociado al modelo, primario, Función como correspondencia.
Este es un problema muy polémico desde hace muchos años y aun es de gran interés.
La primera definición rigurosa sobre este concepto, Límite, fue dada a conocer por vez primera por el Matemático Francés Agustín Chauchy. Las ideas sobre esteconcepto era una gran polémica antes de Cauchy, y lo sigue siendo después de Cauchy, incluso, hasta nuestros días. Este concepto representa un modelo matemático, muy útil en la práctica para todo aquel que necesite del tema llamado “Cálculo Diferencial”.
Un problema, de diferente naturaleza, que se puede encontrar es como el que se presenta con la gráfica de la siguiente función, ya que la funciónsiguiente puede modelar o ser patrón de lo que sucede, cuando un tramo de carretera (en línea recta), se interrumpe, por la erosión provocada por las lluvias y/o derrumbes por movimientos telúricos. Es decir, es un tramo de camino, en línea recta, destruido, por uno o ambos fenómeno natural.
Para empezar a responder estas polémicas es bueno presentar el problema mediante el siguiente ejemplo:EJEMPLO 1: Sea f una función real de variable real definida por:
f(x) = [x2 – 9]:[x – 3] y sea el punto a = 3.
SOLUCION: Si se sustituye el punto x por a = 3, entonces el denominador del cociente f(x) se hace 0 y por consiguiente f(x) =[x2 – 9]:[x – 3], no existe, pues: f(3) =( 32 – 9):(3 – 3) = 0:0; pero la división entre 0 no es posible y la solución puede sercualquier número real, ya que todo número multiplicado por 0 es 0.
Se tienen, pues, infinitas soluciones, a los cocientes que adoptan esta forma se le llama, FORMA INDETERMINADA, por eso f tiene una indeterminación en el punto 3. Como el denominador x – 3 = 0 solo si x = 3. Entonces D( f) = R – {3} y f(x) = (x2 – 9):(x – 3) = (x – 3)(x + 3):(x – 3) = x + 3; si x ≠ 3. Entonces se tiene la...