Limite Matematico

Artefactos Intelectuales

Límite Matemático Matemático
Félix Pino Cano

94

www.lacruzadadelsaber.es

Ciencia y Tecnología

CIENCIA Límite matemático

n este artículo trataré de resumir la historia de una concepción abstracta de difícil comprensión que ha sido de gran utilidad para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se trata del concepto de límite matemático. En matemáticas,la palabra límite está asociada con la idea de aproximación entre números y el concepto de límite está estrechamente relacionado con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones. Los límites son una herramienta que permiten estudiar el comportamiento de una función o sucesión al aproximarse a un punto dado. La definición rigurosa que utilizamos actualmente se debe a Cauchy y aKarl Weierstrass y es relativamente reciente, de principios del siglo XIX. Se trata de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros. Las definiciones de límite para una función y para una sucesión son las siguientes: La función f:D R tienelímite L en p si para todo > 0 existe un > 0 tal que x D y 0 < | x-p | ≤ garantiza | f(x)-L | ≤ La definición de límite para una sucesión es la siguiente: Una sucesión {an} tiene límite L si para todo > 0 existe un número natural N tal que |an-L | ≤ para todo n ≥ N Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que Jonh Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada comola primera en el siglo XVII. Él fue el primero que estableció claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente, esto es,
95 La Cruzada del Saber

E

La foto muestra la idea de aproximación, ya que las vías del tren parecen converger en un punto

con la condición de que la diferencia entre la variable y el límite sea “quavis asignabilis minor”. Fue Augustin Louis Cauchy(17891848) quien puso los cimientos del análisis infinitesimal fundamentando el cálculo sobre el concepto de límite, siguiendo los criterios que ya apuntaron anteriormente John Wallis y James Gregory en el S.XVI I y ya en el siglo siguiente Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la famosa enciclopedia francesa Encyclopédie una entrada para el concepto de Límite, que es definido como: “Se dice que unacantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puede aproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.” Habría que esperarhasta el año 1821 cuando apareció finalmente el famoso texto de Cauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que

refundaba la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas, en el ámbito del cálculo infinitesimal. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguíaallí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir, entre series convergentes y divergentes. En su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma: “Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valorfijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.” Como se puede comprobar la definición no estaba totalmente pulida, tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus (épsilon) y (delta), que no son más que

CIENCIA Límite matemático

Retrato del matemático Inglés...