Limite y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Problema 1
Calcule el límite para las siguientes funciones:

a) [pic] b) [pic] c) [pic]

SOLUCIÓN:
a) [pic]
[pic]

b) [pic]
[pic]

c) Como [pic], se tiene que:

[pic]

Calculando límite a:

[pic]
Por lo tanto por teorema del sándwich: [pic]

Problema 2
Demuestre a través de la definición de límite que: [pic]

SOLUCIÓN:
[pic]

Problema 3Calcule el límite para la siguiente función: [pic]
SOLUCIÓN:

[pic]

Problema 4
Obtenga utilizando límites, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para las siguientes funciones:

a) [pic] b) [pic]

SOLUCIÓN:
a) Asíntotas verticales:

[pic] y [pic]
Por lo tanto [pic] es asíntota vertical.
Asíntotas Oblicuas:

[pic]

[pic]

Por lo tanto existe una asíntota oblicua en[pic]

b) Asíntotas verticales:

[pic], por lo tanto [pic] y [pic] son asíntotas verticales.

Asíntotas oblicuas:

[pic]
[pic]Por lo tanto hay asíntotas oblicuas en [pic] y en [pic].

Problema 5

Calcule el siguiente límite: [pic]

SOLUCIÓN:
[pic]

Problema 6
Sea[pic]. Calcule [pic]. (Asuma que [pic] )

SOLUCIÓN:
[pic]
[pic] Diferencia de cubos[pic]
[pic]

Problema 7
Calcule: [pic]

SOLUCIÓN:
[pic]

Aplicamos álgebra de límites

[pic]

Problema 8
Calcule: [pic]

SOLUCIÓN:

[pic]

Problema 9

Demuestre que [pic] y úselo para calcular [pic]

SOLUCIÓN:

Demuestre que [pic] y úselo para calcular [pic]

[pic]

Utilizando límite conocido: [pic]
Tenemos que: [pic]
Para [pic]tenemos que:
[pic]
Donde [pic], por loque [pic]

Problema 10
Calcule: [pic]

SOLUCIÓN:
[pic]

Problema 11
Calcule: [pic]

SOLUCIÓN:
[pic]
Sea : [pic]
[pic]
Por lo tanto :
[pic] = [pic]
[pic]

Luego:
[pic]

Problema 12
Sea[pic]. Calcule [pic](asuma que [pic] )

SOLUCIÓN:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Problema 13
Calcule el límite para cada una de las siguientesfunciones:

a) [pic] b) [pic] c) [pic]

SOLUCIÓN:

a) [pic]
[pic]

b) [pic]
[pic]

c) Como [pic], se tiene que:

[pic]
Calculando límite a:

[pic]
Por lo tanto por teorema del sándwich: [pic]

Problema 14
Determine, si existen, todas las asíntotas de la siguiente función:

[pic]
SOLUCIÓN:
Asíntotas Verticales:
Punto crítico en la función [pic]
Ahora:

[pic]

Por lo tantoexiste una asíntota vertical en [pic]

Asíntotas Oblicuas:

LA forma de la asíntota oblicua es [pic]
En este caso, primero:
[pic]
La pendiente de la asíntota es 3.

Ahora:

[pic]

[pic]

El punto de intersección con el eje y es en -3.

Así la asíntota oblicua queda [pic]

Problema 15

Obtenga los valores de a, b, x, de modo que f sea continua.

[pic]
SOLUCION:
i) Para[pic], [pic] es continua, pues es una función constante
ii) Para [pic], [pic] es continua, excepto posiblemente para el valor de x, tal que:
[pic]
iii) Para [pic], [pic] pues es una función constante:

Análisis:

Caso 1: x = 0

[pic]
Para que [pic] exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:
[pic]
Caso 2: x = 1

[pic]
Para que [pic] exista, los límites lateralesdeben ser iguales, por lo tanto:
[pic]

Finalmente, se observa que:
[pic]
Por lo tanto, [pic] debe excluirse del intervalo (dominio), así la función será continua en todos los valores de los reales excepto en [pic]. Rescribiéndose la función.
[pic]

Problema 16
Sea [pic] dada por [pic]
i) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en [pic].
ii) Demuestre que [pic]o[pic]es continua y creciente en [pic].

SOLUCIÓN:
Sea [pic] dada por [pic]
iii) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en [pic].
iv) Demuestre que [pic]o [pic]es continua y creciente en [pic].

[pic];[pic]
i) f es continua y estrictamente decreciente en [pic].
En efecto, las funciones [pic] y [pic] son continuas en [pic](son polinómicas) y [pic]es continua...