limite y sus propiedades
Páginas: 12 (2835 palabras)
Publicado: 14 de octubre de 2015
UNIDAD II
LÍMITE Y SUS PROPIEDADES.
Este documento fue preparado por José Sánchez Encarnación del 2011, utilizando las siguientes fuentes de consulta:
George, Thomas. (2006). Cálculo Varias Variables. Undécima Edición, Pearson.
Sobel, Max y Lerner, Norbert. (2006). Pre cálculo. 6ta Edición. Pearson.
INTRODUCCIÓN. El concepto que marca la diferencia entre el cálculo y el algebra y latrigonometría, es el de limite. El límite es fundamental para determinar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
En este capítulo se desarrolla dicho concepto, primero de manera intuitiva y luego formalmente. Usaremos limites para describir la forma en que varia una función f. algunas funciones varían continuamente; los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones en f(x). Otrasfunciones pueden tener valores que saltan o que cambian con brusquedad. El concepto de límite nos proporciona un método preciso para distinguir entre estos comportamientos. La aplicación geométrica del límite para definir la tangente a una curva, conduce directamente al importante concepto de la derivada de una función. La derivada, que analizaremos a fondo en el capítulo 3, cuantifica la manera enque cambian los valores de una función.
Limites de valores de funciones.
Aunque nuestros ejemplos han sugerido la idea de límite, es necesario dar una definición informal de dicho concepto. Sin embargo, pospondremos la definición formal hasta contar con más información.
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto, posiblemente, en el mismo punto x0. Si f(x) se acercatanto como queramos a L (tanto como queramos) para toda x lo suficiente cerca de x0, decimos que f se aproxima al límite L cuando x se acerca a x0, y escribimos
.
Lím f(x) = L,
X x0
El cual se lee como “el límite de f(x) cuando x tiene a x0 es L”. en esencia, la definición afirma quelos valores de f(x) están cerca del número L siempre que x esta cerca de x0 (por cualesquiera de los lados de x0). Esta definición es “informal” ya que frases como tanto como queramos y suficientemente cerca son imprecisas; su significado depende del contexto. Para un mecánico que fabrica un pistón, cerca significa milésimas de pulgada. Para un astrónomo que estudia las galaxias distantes, cercasignifica algunos miles de años luz. A pesar de ello, la definición es lo bastante clara para permitirnos reconocer y evaluar limites de funciones especificas; no obstante, cuando probemos teoremas relacionados con limites –en la sección 2.3--, necesitaremos una definición más precisa.
EJEMPLO. Comportamiento de una función cerca de un punto
¿Cómo se comporta la funciónAl estar cerca de x = 1?
Solución. La formula dada define a f para todos los números reales x, excepto x = 1 (no es posible dividir entre cero). Para cualquier x ≠ 1, podemos simplificar la formula factorizando el numerador y eliminando los factores comunes:
= x + 1
Por lo tanto, la grafica de f es la recta y = x + 1sin el punto (1,2). En la figura 2.4 se indica dicho punto eliminado mediante un círculo vacio o “hueco”. Aun cuando f (1) no está definida, es claro que podemos determinar el valor de f(x) tan cerca como queramos de 2, eligiendo un valor de x lo suficientemente cercano a 1 (tabla 2.2).
Decimos que el límite de f(x) se acerca a 2 a medida que x se aproxima a 1, y escribimosLím f(x) = 2, o Lím = 2.
X 1 X 1
Calculo de límites mediante las leyes de los límites
Las leyes de los límites
El teorema siguiente nos indica como calcular límites de funciones que son combinaciones aritméticas de otras cuyos límites ya se conocen.
Es...
LÍMITE Y SUS PROPIEDADES.
Este documento fue preparado por José Sánchez Encarnación del 2011, utilizando las siguientes fuentes de consulta:
George, Thomas. (2006). Cálculo Varias Variables. Undécima Edición, Pearson.
Sobel, Max y Lerner, Norbert. (2006). Pre cálculo. 6ta Edición. Pearson.
INTRODUCCIÓN. El concepto que marca la diferencia entre el cálculo y el algebra y latrigonometría, es el de limite. El límite es fundamental para determinar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
En este capítulo se desarrolla dicho concepto, primero de manera intuitiva y luego formalmente. Usaremos limites para describir la forma en que varia una función f. algunas funciones varían continuamente; los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones en f(x). Otrasfunciones pueden tener valores que saltan o que cambian con brusquedad. El concepto de límite nos proporciona un método preciso para distinguir entre estos comportamientos. La aplicación geométrica del límite para definir la tangente a una curva, conduce directamente al importante concepto de la derivada de una función. La derivada, que analizaremos a fondo en el capítulo 3, cuantifica la manera enque cambian los valores de una función.
Limites de valores de funciones.
Aunque nuestros ejemplos han sugerido la idea de límite, es necesario dar una definición informal de dicho concepto. Sin embargo, pospondremos la definición formal hasta contar con más información.
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto, posiblemente, en el mismo punto x0. Si f(x) se acercatanto como queramos a L (tanto como queramos) para toda x lo suficiente cerca de x0, decimos que f se aproxima al límite L cuando x se acerca a x0, y escribimos
.
Lím f(x) = L,
X x0
El cual se lee como “el límite de f(x) cuando x tiene a x0 es L”. en esencia, la definición afirma quelos valores de f(x) están cerca del número L siempre que x esta cerca de x0 (por cualesquiera de los lados de x0). Esta definición es “informal” ya que frases como tanto como queramos y suficientemente cerca son imprecisas; su significado depende del contexto. Para un mecánico que fabrica un pistón, cerca significa milésimas de pulgada. Para un astrónomo que estudia las galaxias distantes, cercasignifica algunos miles de años luz. A pesar de ello, la definición es lo bastante clara para permitirnos reconocer y evaluar limites de funciones especificas; no obstante, cuando probemos teoremas relacionados con limites –en la sección 2.3--, necesitaremos una definición más precisa.
EJEMPLO. Comportamiento de una función cerca de un punto
¿Cómo se comporta la funciónAl estar cerca de x = 1?
Solución. La formula dada define a f para todos los números reales x, excepto x = 1 (no es posible dividir entre cero). Para cualquier x ≠ 1, podemos simplificar la formula factorizando el numerador y eliminando los factores comunes:
= x + 1
Por lo tanto, la grafica de f es la recta y = x + 1sin el punto (1,2). En la figura 2.4 se indica dicho punto eliminado mediante un círculo vacio o “hueco”. Aun cuando f (1) no está definida, es claro que podemos determinar el valor de f(x) tan cerca como queramos de 2, eligiendo un valor de x lo suficientemente cercano a 1 (tabla 2.2).
Decimos que el límite de f(x) se acerca a 2 a medida que x se aproxima a 1, y escribimosLím f(x) = 2, o Lím = 2.
X 1 X 1
Calculo de límites mediante las leyes de los límites
Las leyes de los límites
El teorema siguiente nos indica como calcular límites de funciones que son combinaciones aritméticas de otras cuyos límites ya se conocen.
Es...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.