Limite

LIMITE
Los límites nos proporcionan un lenguaje para describir el comportamiento de las salidas de una función cuando las entradas tienden a un valor particular.
Por ejemplo. Podemos ver gráfica ynuméricamente que los valores de fx=senxx tienden a 1

X | F(x) |
-0.3 | x
0.985 |
-0.2 | 0.993 |
-0.1 | 0.998 |
0 | Error |
0.1 | 0.998 |
0.2 | 0.993 |
0.3 | 0.985 |
No sepuede eliminar x del denominador de senxx para confirmar nuestra observación de manera algebraica. Necesitamos un teorema de límites para tal confirmación.
Definición: Limite.
Sean c y L númerosreales. La función f tiene limite L cuando x tiende a c si, dado cualquier número positivo ξ, existe un número positivo δ tal que para toda x
0<x-c<δ implica fx-L<ξ

Escribimoslimx→cfx=L

1
-1
2

1

La figura ilustra el hecho de que la existencia de un límite cuando x→c nunca depende de que la función esté o no definida en c. La función f tiene limite 2cuando x→1 aunque f no esté definida en 1. La función g tiene limite 2 cuando x→1 aunque g(1)≠2. La función h es la única cuyo límite cuando x→1 es igual a su valor en x=1.
1
-1
2

1
1
-1
21

gx=x2-1x-1, x≠11, x=1

fx=x2-1x-1

hx=x+1

limx→1fx=limx→1gx=limx→1h(x)=2

Teorema 1. Propiedades de los límites.
Si L, M, C y K son números reales ylimx→cfx=L y limx→cgx=M, entonces
1. Regla de la suma: limx→c(fx+gx)=L+M
El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites.
2. Regla de la resta:limx→cfx-gx=L-M
El límite de la resta de dos funciones es la resta de sus límites.
3. Regla del producto: limx→cfx∙ gx=L∙M
El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites.
4.Regla del múltiplo de una función: limx→ck∙fx=k∙L
El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.
5. Regla del cociente: limx→cf(x)g(x)=LM, M ≠0
El...