Limite

Límite

Introducción Es conveniente, que antes de tener un acercamiento a lo que es límite, contestar la pregunta ¿Qué es Cálculo? ya que parte del propósito del estudio de esta parte de la matemática es, precisamente, el “límite”. El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. He aquí algunos ejemplos de ello:  Para describir la velocidad de un objeto que se mueveaceleradamente.  Para describir pendientes de curvas.  Para describir la recta tangente a cualquier gráfica en general.  Para describir el área bajo una curva en general. Cada una de estas situaciones involucra a la misma estrategia general –la reformulación de las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite–.

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Definición Intuitiva de Límite
La noción de límite esfundamental en el estudio del cálculo. A continuación se da una breve descripción del problema de la recta tangente, que ilustra la forma en que interviene el límite en el cálculo. En el problema de la recta tangente, se da una función  y un punto P de su gráfica y se pide hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como lo ilustra la figura M-1.

Exceptuando los caos enel que la recta tangente es vertical, el problema de la recta tangente en el punto P equivale al de determinar la pendiente de la recta tangente en P. Se puede calcular aproximadamente la pendiente trazando una recta por el punto de tangencia y otro punto de la curva (ver figura M-2) Tal recta se llama una recta secante. Si P(c, (c)) es el punto de tangencia y Q(c+x, (c+x)) es un segundo puntode la gráfica de, la pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos viene dada por ∆ ∆ ∆ ∆

Q(c+x, (c+x))

P(c, (c))

∆ ∆
La recta secante que pasa por (c, (c)) y (c+x, (c+x))

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Al aproximarse Q al punto P, la pendiente de la recta secante se aproxima a la de la recta tangente, como ilustra la figura M-3. Cuando existe tal “posición límite” se dice que lapendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes. Es importante hacer la aclaración que en la geometría plana, la recta tangente l en un punto P sobre una circunferencia se puede definir como “la recta que tiene solamente un punto en P en común con tal circunferencia, como se ilustra en la figura M-4. Esta definición no se puede aplicar a cualquier gráfica, ya queuna recta tangente puede cortar a una gráfica varias veces, como se muestra en la figura M-5.

Ahora, supongamos que se nos pide la gráfica de la función  dada por:

1 , 1

1

Para todos los valores distintos de x = 1, es posible las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x = 1, no está claro qué esperar. Para tener una idea del comportamiento de la gráfica de  cercade x = 1, se puede usar dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, como ilustra la tabla.

x tiende a 1 por la izquierda (x→1-)

x tiende a 1 por la derecha (x→1+)

x (x)

0.75 2.313

0.9 2.710

0.99 2.970

0.999 2.997

1 ?

1.001 3.003

1.01 3.030

1.1 3.310

1.25 3.813

(x) tiende a 3

(x) tiende a 3Al representar la función, parece que la gráfica de ƒ es una parábola con un hueco en el punto (1,3) como muestra la figura M-6. A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1 y, como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. En notación de límites, se escribe
lim 3 1 1

lim

3

Esto se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3”

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Estadiscusión conduce a una descripción informal de límite. Sea c un intervalo abierto, y sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en c, y L un número real. Entonces lim Significa que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a c (pero x ≠ c)

La frase f(x) puede acercarse arbitrariamente a L, según la definición anterior, significa que...