Limite

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Cap´ ıtulo 3

Sucesiones. L´ ımite de una sucesi´n o
3.1. Introducci´n o

La noci´n de sucesi´n es un instrumento importante para el estudio de un gran o o n´mero de problemas relativos a las funciones. Una sucesi´n es, simplemente, u o una funci´n f : N → R representadas usualmente por an que se llama elemento o n-´simo de la sucesi´n y se escribe: a1 , a2 , · · · , an , · · · e oDiremos que una sucesi´n a1 , a2 , · · · , an , · · · es convergente al l´ o ımite α, o que converge a α, cuando n → ∞, l´ an = α si para cualquier ε > 0, ∃N (ε) > 0 ım tal que se cumpla la desigualdad |an − α| < ε, ∀ n > N (ε) (l´ase: an tiende a α e cuando n tiende a (m´s) infinito) si una sucesi´n no tiene l´ a o ımite, se dice que es divergente.
n→∞

3.2.

Teoremas B´sicos a

Si lassucesiones {an }, {bn } son convergentes, entonces: a) l´ (an ± bn ) = l´ an ± l´ bn = α ± β ım ım ım
n→∞ n→∞ n→∞

b) l´ an bn = l´ an l´ bn = αβ ım ım ım
n→∞ n→∞ n→∞

1

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Luis Zegarra.

Sucesiones. L´ ımite de una sucesi´n 2 o

c) l´ ım

l´ an ım an α = n→∞ = , n→∞ bn l´ bn ım β
n→∞

si

n→∞

l´ bn = β = 0 ım

Si β = 0 ∧ α = 0 =⇒ l´ ım Si β = 0 ∧ α = 0 =⇒ l´ ım
n→∞n→∞

an no existe. n→∞ bn an puede o no existir bn para γ ∈ R si αγ existe.

n→∞

d) l´ aγ = ( l´ an )γ = αγ , ım n ım

l´ an ım = γ α , para γ ∈ R+ si γ α existe. e) l´ γ an = γ n→∞ ım
n→∞

La demostraci´n de estos teoremas son inmediatos por medio de la definici´n de o o convergencia. Asismismo, dichos teoremas muestran que cualquier conjunto finito de operaciones matem´ticaselementales efectuadas con los elementos n-´simos de un a e cierto n´mero de sucesiones convergentes dadas, se conserva en el l´ u ımite: la sucesi´n resultante ser´ convergente y su l´ o a ımite se obtendr´ llevando a cabo el a mismo conjunto de operaciones con los correspondientes l´ ımites de las sucesiones dadas (con la habitual condici´n de que ning´n denominador sea nulo). o u

3.3.

Criterios deconvergencia

1. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Una sucesi´n mon´tona y acotada tiene un l´ o o ımite finito. 2. Teorema del Sandwich. Si an ≤ bn ≤ cn y l´ an = l´ cn = L, entonces l´ bn = L; ım ım ım
n→∞ n→∞

puede ser finito, +∞ ∨ − ∞)

n→∞

(L

3.4.

Problemas Resueltos

o ımite de una sucesi´n, demostrar que o 1. Usando la definici´n del l´

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Luis Zegarra.Sucesiones. L´ ımite de una sucesi´n 3 o

a) l´ an = 1 ım
n→∞

3 b) l´ bn = , donde: ım n→∞ 5

a)

1 3 5 7 , , , ,··· 3 5 7 9 13 28 49 , , ,··· 19 44 79

b) 1,

Soluci´n. o a) N´tese que an = o 2n − 1 2n + 1

Sea ε > 0, se trata de encontrar un n´mero N ∈ N tal que ∀n > N u 2n − 1 −1 = se cumpla |an − 1| < ε. Para lo cual trabajamos con 2n + 1 2 2 −2 deber´ cumplirse que a < ε de donde n > =2n + 1 2n + 1 2n + 1 1 1 1 1 − . De aqu´ la parte entera del n´mero − se puede tomar como ı u ε 2 ε 2 1 1 N , es decir N = − . ε 2 As´ ∀ε > 0, N = ı,
n→∞

l´ an = 1. ım

1 1 − : ∀n > N => |an − 1| < ε, lo que significa: ε 2 3n2 + 1 tenemos 5n2 − 1

b) Procediendo en forma an´loga y notando que bn = a que

3n2 + 1 3 8 − = ; sea dado ε > 0, de aqu´ se obtiene ı 2−1 2 − 1) 5n 5 5(5n 8 1 1 8+ 5ε 1 8 + 5ε n2 > + ; n> ; haciendo N = se tiene que 25ε 5 5 ε 5 ε 3 ∀ n > N, bn − < ε. 5 Por ejemplo si ε = 0.02 =⇒ N = 4, y todos los t´rminos de la e sucesi´n empezando en el quinto , estan contenidos en el intervalo o 3 3 − 0.02, + 0.02 = (0.58, 0.62). 5 5

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Luis Zegarra.

Sucesiones. L´ ımite de una sucesi´n 4 o

2. Demostrar que L = 0 no es el l´ ımite de la sucesi´n cuyot´rmino general es o e n−1 an = . 2n + 5 Soluci´n. o n−1 1 n−1 > −0 = , ∀ n > 1 con lo que el valor ab2n + 5 2n + 5 10 1 soluto de la diferencia permanece mayor que el n´mero constante , por lo u 10 1 1 tal que: |an − 0| > se mantiene cierta ∀ n > 1. tanto existe ε > 0; ε = 10 10 N´tese que o As´ esto es suficiente para demostrar que L = 0 no es el l´ ı ımite de la sucesi´n o en cuesti´n. o 1 = 0,...