Limites Al Infinito

Límites Infinitos y Límites en el Infinito. Continuidad.

LIMITES INFINITOS Se puede observar a partir de la tabla de valores y de la grafica de la función f ( x ) 
1 , x

En general escribiremos de manera simbólica Lim f ( x )   para indicar que los valores de
x  a

f ( x ) se vuelven cada vez mas grandes cuando

x se aproxima a " a" por la izquierda

que los valores de f ( x )pueden disminuir o aumentar en forma arbitraria, escogiendo una " x" suficientemente cercana a 0 .
x0 x0

De manera análoga

x  a

Lim f ( x )   significa que

x
-1 -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001  0-

f (x)
-1 -2 -10 -100 -1000 -10000  -

x
1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001  0+

f (x)
1 2 10 100 1000 10000  +

los valores de f ( x ) son tan grandes como deseemos paravalores de x que están suficientemente cerca de " a" , pero mayores que " a" .

Se pueden dar definiciones similares para los limites infinitos: Lim f ( x )   ; Lim f ( x )   ;
x  a x  a

Lim f ( x )   y Lim f ( x )   .
x a x a

PROPIEDADES PARA CALCULAR LÍMITES INFINITOS. f ( x) c  , c  0 , entonces Si Lim x  a g( x ) 0 f ( x) Lim   . x  a g( x ) El signo  dependedel signo de la expresión f (x) en las cercanías de " a" g( x ) Estas propiedades se pueden extender para los casos de límites laterales. EJEMPLO 1 Hallar los siguientes límites: x2 i. Lim x 3  x  3 x2 ii. Lim x 3  x  3 2 iii. Lim x 3 x  3 2

Para indicar estos tipos de comportamientos, usaremos respectivamnte las notaciones Lim f ( x )   y Lim f ( x )   .
x  0 x  0Esto no significa que nos refiramos a   o   como números ni que exista los límites, simplemente expresa la forma particular en que dichos limites no existen.
Profesor: Renzo Mere Donayre -1-

Semestre: 2011-II

Matemática II Segunda Semana: Límites Infinitos y Límites en el Infinito. Continuidad.

LIÍMITES EN EL INFINITO Tomemos ahora la función f ( x )  1/ x 2 e investiguemos elcomportamiento de la función f cuando x se hace arbitrariamente grande (positivo o negativo). En la tabla siguiente se dan valores de esta función hasta con ocho cifras decimales y, también se muestra la grafica de f .

En general, usamos el símbolo Lim f ( x )  L
x 

para indicar que los valores de f ( x ) tienden a L conforme x se hace más y más grande.

x -1 -2 -4 -5 -10 -100 -1000 -10000 -

f (x) 1 0,25 0,0625 0,04 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001  0

x 1 2 4 5 10 100 1000 10000  +

f (x) 1 0,25 0,0625 0,04 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001  0

Si volvemos a la grafica de f ( x )  1/ x 2 , veremos que para valores negativos numéricamente grandes de x , los valores de f ( x ) están cercanos a 0. Es decir, al reducir x a través de valores negativos sin cota, podemosacercar f ( x ) a 0 cuanto queramos. Esto se expresa escribiendo Lim f ( x )  0 .
x  

En general, la notación Lim f ( x )  L significa
x 

que los valores de f ( x ) están tan cerca a L como deseemos escogiendo una x negativa suficientemente grande.

PROPIEDADES PARA CALCULAR LÍMITES EN EL INFINITO Si n es un número positivo: i. Lim x n  
x  

ii.

 ; si n espar Lim x n  x    ; si n esimpar

iii. Lim

c xn

x 

0

EJEMPLO 2 (forma indeterminada /) Evalué Se puede ver en la segunda tabla que conforme x crece mas y mas, los valores de f ( x ) se aproximan cada vez mas a 0. De hecho, parece que podemos acercar cuanto queramos los valores de f ( x ) a 0 eligiendo una x lo bastante grande. Esta situación se expresa en forma simbólicaescribiendo: Lim f ( x )  0 .
x  

i. ii.

Lim
x  

x3  5 4  x2 3x 2  x  2

x 

Lim

iii. Lim

5x 2  4 x  1 x2  x  1 x 3  4x  3

x 

Profesor: Renzo Mere Donayre

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Semestre: 2011-II

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FUNCIONES CONTINUAS CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f es continua en “a” si...