limites al infinito

Límites infinitos y límites al infinito
El símbolo  se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. 
Si una variable independiente  está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe  (que se lee:  tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee:  tiende a menos infinito). 
Similarmente,cuando  crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos . 
Consideramos la función  definida por  para . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando  cuando  y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: 
a. 
   
  En este caso, cuando , la función  tiende a tomar valores positivos cada vezmayores. Esto podemos escribirlo como, es decir 
b. 
  
Ahora, cuando  toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,  cuando , o sea .
c.
  
Ahora observe que es  la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que  tiende a valores cercanos a cero. 
Así , o sea,  cuando .
d.
  
En formasimilar a la tabla anterior se tiene que  cuando  es decir,  
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función  en la forma siguiente. 

Consideramos ahora la función  definida por  para , cuya representación gráfica es la siguiente: 

Podemos decir que:
a.
     y 

b.
    y        
Ejercicio 
Determine: , , , , , , utilizando para ello la función . 

Daremos ahoraalgunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito. 
 
 
Definición 
 
Se dice que  crece sin límite cuando  tiende a , que se denota, si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe  tal que  siempre que .
Gráficamente se tiene: 

Esta definición nos dice que es posible hacer  tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ),tomando  suficientemente cerca de .
Ejemplo 
Consideremos la representación gráfica de la función  definida por:   

Demostremos ahora que  
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un  existe  tal que . 
Observe que: . 
Luego, dado , escogemos  de tal forma que se satisfaga que . Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir, cuando .  
 
Definición 
 
Se dice que  decrece sin límitecuando  tiende a , que se denota por, si para todo número real , existe una  tal que
  Gráficamente se tiene que: 

La definición anterior afirma que es posible hacer  menor que cualquier número negativo , tomando  suficientemente cerca de . 
Ejemplo: Consideremos la representación gráfica de la función  definida por  

En la grafica se ve que 
 
Definición
 
Se dice que  tiende a  cuando  tiendea  por la derecha, y se escribe, si se cumple que a cada número positivo  , (tan grande como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de ) tal que .
 Similarmente, se dice que  tiende a  cuando  tiende a  por la izquierda y se escribe  si  siempre que  (Observe que  es mayor que cero pues  ya que ). -El comportamiento de la función  definida por  cuando , está regido por ladefinición anterior. Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente. 
-Los símbolos  y  se definen análogamente, escribiendo  en vez de . (note que si  entonces ) 
Gráficamente se tiene: 

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a  por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valorabsoluto), es decir, se tiene que  y cuando   
Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función  como sigue:
 
Definición
 
Se dice que  cuando  es decir,  si para cada número positivo  existe otro número positivo , tal que.

Observe que  y que  
Podemos anotar que  
Ejemplo: 
Demostraremos que  
Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe...