Limites al infinito

Límites en el infinito
Primero deberías leer límites (una introducción)

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
Uno entre infinito
Empecemos por un ejemplo interesante.
Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?
La razón mássimple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!
Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porqueno sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situación interesante:
• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
• Pero vemos que 1/x va hacia 0
Queremos decir que larespuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:

En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos quecuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
Resumen
A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
Lo que pasa en ∞ es indefinido... 1/∞

... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito
Límites al ir a infinito
¿Cuál es el límite de esta función?
y = 2x
Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":x y=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200
... ...
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).
Infinito y grado
Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro ainfinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.

Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.
Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

Pero ten cuidado, una función como"-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.
De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.


Si el grado es:
• mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
• menor que 0, el límite es 0
Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límiteFunciones racionales
Una función racional es el cociente de dos polinomios:


Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:
Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...
Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):
Si el grado de P es menor que el grado de Q ...
... el límite es 0.
Si el grado de P y de Q soniguales ...
... divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:




Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...
... entonces el límite es infinito positivo ...

... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos!
Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:
Por...