Limites - calculo diferencial

Instituto Tecnológico de Minatitlán

Límites y Continuidad

Calculo Diferencial

Ing. Sistemas Computacionales

1° Semestre

Daniel De Lara

Ing. Pablo Francisco Vivas Torres

Indice
Indice 2
Introducción 3
3.1 Límite de una sucesión 4
3.2 Límite de una función de variable real 8
3.3 Cálculo de límites 9
3.4 Propiedades de los límites 10
3.5 Límites laterales 11
3.6Límites infinitos y límites al infinito 12
3.7 Asíntotas 13
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo 15
3.9 Tipos de discontinuidades 18
Referencias bibliográficas 23

Introducción
Límite matemático

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función seacercan a determinado valor. En cálculo(especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, comopuede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

3.1 Límite de una sucesión
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de unasucesión que se va aproximando haciaun punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos alos elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Límite de una sucesión de números reales

Definición formal
Una sucesión  tal que  tiene límite , cuando  tiende a , si para todo valor  por pequeño que sea, hay un valor  apartir del cual si  tenemos que la distancia de  a es menor que , es decir:

.

Notación
 o bien 

o también

o simplemente

Ejemplos

La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1,entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.

Propiedades
Si una sucesión  tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
Si una sucesión  tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
Si una sucesión  converge a cero, nose puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
Si una sucesion  tiende a menos infinito y  entonces  tiende a 0.

Límite de una sucesión compleja

Se dice que la sucesión converge hacia un complejo  si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , con modulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir
 o más simplemente, si no hayambigüedad 

Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto,  es también completo).

Ejemplos

Sucesiones en  ó 
Sucesiones en 
Sucesiones en el espacio 
Sucesiones en el espacio 
Sucesiones en el...