Limites Calculo Diferencial

3.6 LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO.
LIMITES INFINITOS
Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a,     x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.
Análogamente,   lim f(x) = - 
x→a 
si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.
Diremos que lim f(x) = - 
x→a 
si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k
•Ejemplo:
la función f(x)= 1/|x|
En el punto x=0 se tiene:
lim 1/|x|= - 
x→ 0-
→ lim    1/|x| = 
                                               x→0 
lim 1/|x| = 
x→a’

LIMITES AL INFINITO

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:
• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 
•lim f(x) = L si“haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.
         x→

3.7 ASINTOTAS.

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:
Asíntotas horizontales

Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido porcero.
K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Ejemplo
Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
Ejemplo
Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

3.8 FUNCIONESCONTINUAS Y DESCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO.
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que unafunción f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por laderecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Nota
Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en dicho punto.
Siuna función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.
Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=aen el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).
Definición : Discontinuidades.
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.-Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son...