Limites calculo
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Publicado: 12 de noviembre de 2009
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1 Límite de una función [editar]
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
1Definición rigurosa [editar]
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe
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si se puede encontrar para cada ocasión un xsuficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
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Esta definición se denomina frecuentemente definiciónépsilon-delta de límite, y se lee como:
"para cada real ε mayor que cero existe un real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y p (x no es igual a p) es menor que δ, entonces ladistancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
2 Límites notables [editar]
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muyinteresantes.
[pic] (número e)
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1 Demostración [editar]
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo(0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
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Elevando los términos de la inecuación a -1:
[pic]
Calculando el límite cuando x tiendea 0:
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Lo que es igual a:
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Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
[pic]
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades delos límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
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El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límitecuando x tiende a infinito.
2 Límite de una sucesión [editar]
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Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión...
1 Límite de una función [editar]
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
1Definición rigurosa [editar]
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe
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si se puede encontrar para cada ocasión un xsuficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
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Esta definición se denomina frecuentemente definiciónépsilon-delta de límite, y se lee como:
"para cada real ε mayor que cero existe un real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y p (x no es igual a p) es menor que δ, entonces ladistancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
2 Límites notables [editar]
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muyinteresantes.
[pic] (número e)
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1 Demostración [editar]
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo(0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
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Elevando los términos de la inecuación a -1:
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Calculando el límite cuando x tiendea 0:
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Lo que es igual a:
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Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
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El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades delos límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
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El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límitecuando x tiende a infinito.
2 Límite de una sucesión [editar]
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Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión...
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