Limites Calculo
Páginas: 24 (5849 palabras)
Publicado: 22 de noviembre de 2012
alculoUniversidad Diego Portales
FACULTAD DE ECONOMIA Y EMPRESA
Material Docente
Límite de Funciones Reales
I A E 4207 Cálculo
Profesores: Abel Lizana Morales
Héctor Carreño Gajardo
SANTIAGO, CHILE, U.D.P., Mayo de 2012
Universidad Diego Portales
Facultad de Economía y Empresa
Límite y Continuidad de Funciones
1.0.
Introducción.
En el cálculo, una persona infiere quéestá o “debe estar” próxima en un punto particular a partir del
conocimiento sobre lo que está pasando en otros puntos que tienden a él. El concepto matemático
de límite es central en un proceso de inferencia. La presentación será más bien intuitiva que
formal. Las ideas perfiladas aquí forman la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y
procedimientos del cálculo, y son el centro demuchas de las ramas de las matemáticas modernas.
He aquí una definición levemente imprecisa de límite que será suficiente para nuestros propósitos:
Definición 1:
Si los valores de la función y = f ( x) se aproximan más y más a algún número real L ,
siempre que la variable x se aproxima más y más a algún número a , se dice que L es el
límite de la función f cuando x tiende o se aproxima a a, y se escribe lim f ( x) = L
x →a
En términos geométricos lim f ( x) = L , significa que el valor de la ordenada del gráfico de la
x →a
función y = f ( x) , tiende al número real L , cuando x tiende o se aproxima a a . Los límites
describen el comportamiento de una función cerca de un punto particular y no
necesariamente en el punto mismo.
Ejemplo:
5x 2 + 2x − 7
. Vemos que
x −1x →1
la función no está definida para x = 1 ,
pero utilizando el álgebra de funciones
puede simplificar el problema utilizando
la función equivalente de la siguiente
forma.
Evalúe: lim
lim
x →1
( x − 1)(5 x + 7)
5 x2 + 2x − 7 =
lim
x −1
x −1
x →1
= lim (5 x + 7)
x →1
= 5(1) + 7 = 12
La cancelación del factor ( x − 1) es
legítima ya que la definición pasa por
altoel comportamiento preciso en
x = 1 . Por lo tanto no se ha dividido por
cero.
Una clara comprensión del significado de la palabra límite. Esta dada en una segunda definición:
Definición 2:
Decir que lim f ( x) = L , Significa que cuando x está cerca de a , pero diferente de a , la
x→a
función y = f ( x) esta cerca del número real L .
Una definición formal del concepto de Límite es lasiguiente:
Profesores: A. Lizana M. – H. Carreño G.
Material Docente – IAE 4207 Cálculo pág.: 2
Universidad Diego Portales
Definición 3:
Facultad de Economía y Empresa
Sea y = f ( x) una función. Dado a ∈ IR , decimos que L es el límite de f en el punto a , si
para cada ε > 0 , existe δ > 0 , tal que si 0 < x − a < δ , entonces f ( x) − L < ε . En tal caso
escribimos lim f ( x)= L .
x→a
El siguiente teorema garantiza que si el límite existe este es único.
Teorema:
2.0.
Si el límite de una función en un punto existe, dicho límite es único
Propiedades de los Límites
Los límites obedecen a leyes algebraicas. Son importantes porque simplifican el cálculo de estos.
Las dos propiedades siguientes tratan sobre los límites de dos funciones lineales elementales apartir de las cuales pueden ser construidas otras funciones algebraicas:
2.1.
El límite de una función constante
Si y = f ( x) = k , función constante, entonces Lim f ( x) = Lim ( k ) = k .
x →a
x →a
El límite de una función constante es la constante misma. En términos geométricos, esto significa
que la altura del gráfico de la función constante f ( x) = k , tiende al valor k cuandox tiende a a .
Ejemplo:
Lim ( 8 ) = 8
x →3
La próxima propiedad establece que la altura de la función identidad f ( x ) = x , tiende hacia a .
2.2
El límite de la función identidad
Si f ( x) = x , función identidad, entonces Lim f ( x) = Lim x = a .
x →a
x →a
Como f ( x) = x (función identidad), es evidente que f ( x) tiende a a cuando x tiende a
Ejemplo:
2.3.
a
Lim...
FACULTAD DE ECONOMIA Y EMPRESA
Material Docente
Límite de Funciones Reales
I A E 4207 Cálculo
Profesores: Abel Lizana Morales
Héctor Carreño Gajardo
SANTIAGO, CHILE, U.D.P., Mayo de 2012
Universidad Diego Portales
Facultad de Economía y Empresa
Límite y Continuidad de Funciones
1.0.
Introducción.
En el cálculo, una persona infiere quéestá o “debe estar” próxima en un punto particular a partir del
conocimiento sobre lo que está pasando en otros puntos que tienden a él. El concepto matemático
de límite es central en un proceso de inferencia. La presentación será más bien intuitiva que
formal. Las ideas perfiladas aquí forman la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y
procedimientos del cálculo, y son el centro demuchas de las ramas de las matemáticas modernas.
He aquí una definición levemente imprecisa de límite que será suficiente para nuestros propósitos:
Definición 1:
Si los valores de la función y = f ( x) se aproximan más y más a algún número real L ,
siempre que la variable x se aproxima más y más a algún número a , se dice que L es el
límite de la función f cuando x tiende o se aproxima a a, y se escribe lim f ( x) = L
x →a
En términos geométricos lim f ( x) = L , significa que el valor de la ordenada del gráfico de la
x →a
función y = f ( x) , tiende al número real L , cuando x tiende o se aproxima a a . Los límites
describen el comportamiento de una función cerca de un punto particular y no
necesariamente en el punto mismo.
Ejemplo:
5x 2 + 2x − 7
. Vemos que
x −1x →1
la función no está definida para x = 1 ,
pero utilizando el álgebra de funciones
puede simplificar el problema utilizando
la función equivalente de la siguiente
forma.
Evalúe: lim
lim
x →1
( x − 1)(5 x + 7)
5 x2 + 2x − 7 =
lim
x −1
x −1
x →1
= lim (5 x + 7)
x →1
= 5(1) + 7 = 12
La cancelación del factor ( x − 1) es
legítima ya que la definición pasa por
altoel comportamiento preciso en
x = 1 . Por lo tanto no se ha dividido por
cero.
Una clara comprensión del significado de la palabra límite. Esta dada en una segunda definición:
Definición 2:
Decir que lim f ( x) = L , Significa que cuando x está cerca de a , pero diferente de a , la
x→a
función y = f ( x) esta cerca del número real L .
Una definición formal del concepto de Límite es lasiguiente:
Profesores: A. Lizana M. – H. Carreño G.
Material Docente – IAE 4207 Cálculo pág.: 2
Universidad Diego Portales
Definición 3:
Facultad de Economía y Empresa
Sea y = f ( x) una función. Dado a ∈ IR , decimos que L es el límite de f en el punto a , si
para cada ε > 0 , existe δ > 0 , tal que si 0 < x − a < δ , entonces f ( x) − L < ε . En tal caso
escribimos lim f ( x)= L .
x→a
El siguiente teorema garantiza que si el límite existe este es único.
Teorema:
2.0.
Si el límite de una función en un punto existe, dicho límite es único
Propiedades de los Límites
Los límites obedecen a leyes algebraicas. Son importantes porque simplifican el cálculo de estos.
Las dos propiedades siguientes tratan sobre los límites de dos funciones lineales elementales apartir de las cuales pueden ser construidas otras funciones algebraicas:
2.1.
El límite de una función constante
Si y = f ( x) = k , función constante, entonces Lim f ( x) = Lim ( k ) = k .
x →a
x →a
El límite de una función constante es la constante misma. En términos geométricos, esto significa
que la altura del gráfico de la función constante f ( x) = k , tiende al valor k cuandox tiende a a .
Ejemplo:
Lim ( 8 ) = 8
x →3
La próxima propiedad establece que la altura de la función identidad f ( x ) = x , tiende hacia a .
2.2
El límite de la función identidad
Si f ( x) = x , función identidad, entonces Lim f ( x) = Lim x = a .
x →a
x →a
Como f ( x) = x (función identidad), es evidente que f ( x) tiende a a cuando x tiende a
Ejemplo:
2.3.
a
Lim...
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