Limites, continuidad y derivadas

Propiedades de los límites, continuidad y derivadas
Curso de Varias Variables
Profra: Ingrid Escobedo Estrada


Propiedades de los límites: Sean [pic], xo un elemento de A o un punto frontera deA, [pic] y [pic]; entonces:

i) Si [pic], entonces [pic], donde [pic] está definida por [pic]
ii) Si [pic] y [pic],entonces [pic], donde [pic] está definida por [pic]
iii) Si m=1,[pic] y [pic],entonces [pic], donde [pic] está definida por [pic]
iv) Si m=1, [pic] y [pic] para todo [pic], entonces [pic], donde [pic] está definida por [pic]
v) Si [pic] donde [pic],i=1,2,…..m, son las funciones componentes de f,entonces [pic], si y sólo si, [pic] para cada i=1,2,,,,,,,,m.


Propiedades de las funciones continuas: [pic] y c un número real.


i) Si f escontinua en xo, también lo es cf, donde [pic]
ii) Si f y g son continuas en xo, también lo es f+g, donde [pic]
iii) Si f y g son continuas en xo, y m=1, entonces la función producto fg definida por[pic] es continua en xo
iv) Si [pic]es continua en xo y no se anula en A, entonces el cociente [pic] es continuo en xo, donde [pic]
v) Si [pic] y [pic], entonces f es continua en xo, si ysólo si, cada una de las funciones con valores reales [pic] es continua en xo

Derivadas: sumas, productos y cocientes

i) Regla del múltiplo constante: Sea [pic] diferenciable en xo y sea c unnúmero real. Entonces [pic] es diferenciable en xo y


[pic] (igualdad de matrices)


ii) Regla de la suma: Sean [pic] diferenciables en xo. Entonces [pic] son diferenciables en xo y[pic] (suma de matrices)

iii) Regla del producto: Sean [pic] diferenciables en xo y sea [pic]. Entonces [pic] es diferenciable en xo y


[pic]

iv) Regla del cociente: Con lasmismas hipótesis que en la regla iii), sea [pic] y supóngase que g nunca es cero en U. Entonces h es diferenciable en xo y

[pic]


Teoremas:


1) Unicidad de los límites: si [pic] y [pic]...