limites copia



Limites de una función:
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir f en el puntoc.

Funciones de variable real:
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientemente cercason matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo \varepsilon > 0 \; existe un \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Esto, escrito ennotación formal:

\begin{array}{l}
\underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
\end{array}

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
Lo importante escomprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límiteexiste, entonces es posible encontrar tal δ.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1. El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Demostración
Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier \varepsilon dado podemos hallar un \delta para el cual se cumple
(*)0<|x-2|<\delta\Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon

Tomando \textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier \varepsilon dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis \textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon.

Veamos que |(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|, luego por hipótesis \textstyle3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon y queda demostrado (*).

Nótese que bien podríamos haber elegido \delta=\frac{1}{6}\varepsilon o \delta=\frac{1}{15}\varepsilon, por ejemplo. En tanto \delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon, siempre podremos demostrar (*).

Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases}
c & \mathrm{para \ } x \\mathrm{racional} \\
d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\
\end{cases}

donde no existe un número c para el cual exista \lim_{x \to c}f(x)\quad. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Funciones en espacios métricosEditar
Existe otra manera de definir el límite quetiene que ver con el concepto de bolas y entornos:

Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

\lim_{x \to c}f(x) = L

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el...