limites de funciones

Propiedades de los límites
1. El límite de una función, si existe, es único.
2.
3.
4.

5.

lim (f + g)(x ) = lim f ( x) + lim g( x) , excepto si lim f (x ) = +∞ y lim g(x ) = -∞ o viceversa.x → xo

x → xo

x → xo

x → xo

lim (f . g)( x ) = lim f ( x ) lim g( x ) , excepto si lim f (x ) = 0 y lim g(x ) = ± ∞ o viceversa.

x → xo

x → xo

x → xo

lim f ( x)
⎛f ⎞
x →xo
lim ⎜ ⎟ ( x ) =
lim g( x)
x → xo ⎝ g ⎠

si

x → xo

x → xo

g( x )

lim f (x )

x → xo

= ( lim f (x))

lim f (x ) = ±∞ y lim g(x ) = 0

Si

x → xo

f (x)

es

unalim (f .g)( x ) = 0

x → xo

lim g(x ) ≠ 0 , excepto si:

o

lim g( x )
x → xo

x → xo

x → xo

función

x → xo

x → xo

lim f ( x ) = lim g(x) = 0

x → xo

7.

x → xo

lim(t. f )( x ) = t lim f ( x ) , siendo t un número real cualquiera.

x → xo

x → xo

6.

x → xo

lim f (x ) = lim g(x ) = ±∞

x → xo

x → xo

, excepto si:
o

acotada

x → xolim f ( x ) = 1 y lim g(x ) =

x → xo

en

un

o

lim f (x ) = lim g( x) = 0

x → xo

entorno

x → xo

de

xo

±

∞

y lim g(x ) = 0 ,
x → xo

entonces

Ejemplo :Calcular los siguientes límites:

(

)

a) lim x 2 + e x = lim x 2 + lim e x = 02 + e0 = 0 + 1 = 1
x →0

x →0

x →0

b) lim 5x ln x = 5 lim x. lim ln x = 5.1.ln1 = 5.0 = 0
x →1

x →1

x→1

lim x 3 + 2
x 3 + 2 x →3
29
c) lim
=
=
x →3 x − 1
lim x − 1
2
x →3

d)

2
−
lim(x 2 − 1) 3
x →0

e) lim

x →+∞

1
x3 + 3

f) lim xsen
x →0

=

(

= lim(x 2 − 1)
x→0

1
lim ( x 3 + 3)

x →+∞

=

)

−

2
3

−

= (−1)

2
3

−

= ((−1)2 )

1
3

=1

1
=0
+∞

1
= 0 , ya que, lim x = 0 y la función seno es una función acotada.
x →0x

En los casos en los que la aplicación directa de estas propiedades no permita calcular el límite (ver
las excepciones que aparecen en las propiedades de los límites), se dice que hay una...