Limites De Funciones

Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir elvalor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x | f(x) |
1,9 | 3,61 |
1,99 | 3,9601 |
1,999 |3,996001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
x | f(x) |
2,1 | 4.41 |
2,01 | 4,0401 |
2,001 | 4,004001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o laderecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δdependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite através de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentrodel entorno de L, Eε(L).

Propiedades de los límites
Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:
* El límite de la suma de ambasfunciones es igual a la suma de los límites.
* El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.
* El límite del producto de las funciones es igual al producto de suslímites.
* El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
* El límite del producto de unaconstante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.
Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:

Asíntotas verticales y...