Limites De Sucesiones Resueltos

Mecánica de resolución de algunos límites.
(1) Calcule: lim p n3 + 3 4n2 + 1 p n!1 3n3 + 2n2 3 3

en primer lugar, los límites al in…nito en donde tenemos una división de polinomiosdebemos SIEMPRE factorizar tanto el numerador como el denominador por la potencia mayor, en este caso, factorizaremos por n3 ; por lo tanto: ! p 2 3 p 1 n3 4n 3 3 4 1 + + 3 n 3 3 1+ + 3 n n n n n =1 p lim lim p ! =n!1 n!1 3 2 3 3 3n3 2n2 3 3 3 3+ n + 3 3 3 n n3 n n n p 2 3 3 n + 4n + 1 1 p lim = 3 + 2n2 n!1 3n 3 3 3 p n + n2 + 2 (2) Calcule lim n!1 n + 4n3=2 1 utilizando el procedimiento descrito anteriormente: p n + n2 + 2 n1=2 + n2 + 2 lim = lim n!1 n + 4n3=2 1 n!1 n + 4n3=2 1 en este caso la potencia mayor es n2 ; entonces: n2
n!1

lim

n2

n1=2 n2 + 2+ n2 n n 4n3=2 + n2 n2

2 n2 1 n2 p

1+1+ n3=2 = lim 4 n!1 1 + n n1=2

2 n2 = 1 = 1 1 0 n2

entonces:

n + n2 + 2 =1 n!1 n + 4n3=2 1 lim

p 2n + 1 n3 + 3n2 (3) Calcule lim 4 + 3n2 n!1 n 5 Para este límite, la potencia más alta es n4 ; por ende: ! p p n3 2n 3n2 1 3 2n 1 1 n4 + 4 + 4 p 4 4 + 2 + 4 n n n n 3 n3 + 3n2 2n + 1 n n = 0 =0 lim = lim = lim n n 3 5 n!1 n!1 n!1 n4 + 3n2 5 1 n4 3n2 5 1+ 2 n4 + 4 4 4 n n4 n n n luego: p n3 +3n2 2n + 1 =0 n!1 n4 + 3n2 5 lim n2 + 3n + 1 3n3 + 2n2 7n + 1 1

(4) Calcular lim p
n!1

4n4

En este tipo de ejercicios hay que tener mucho cuidado, ya que al momento de escoger la potencia más alta la raíz entorpece un poco las cosas, deben notar en este tipo de ejercicios que la raíz posee en su argumento el n4 que al "salir" de la raíz misma queda como un n2 : por lo tanto lafactorización quedaría de la siguiente forma: n + 3n + 1 3n3 + 2n2 7n + 1
2

n2 =
n!1

n!1

lim p

4n4

lim s

n2 3n 1 + 2 + 2 n2 n n 3n3 2n2 + 4 4 n n n2 3n 1 + 2 + 2 2 n n n 7n 1 + 4 4 n n

n4

4n4 n4 n2

=

n!1

lim

n2

r

4n4 n4

=

n!1

= por lo tanto:
n!1

1 1 p = 2 4

lim r 4

3n3 2n2 7n 1 + 4 + 4 4 4 n n n n 3 1 1+ + 2 n n 3 2 7 1 + + 4 n n2 n3 n

limp
1

4n4

n2 + 3n + 1 1 = 3 + 2n2 2 3n 7n + 1

p 3n+1 + 2 4n 6n (5) Calcule: lim n!1 6n 2 3n 1 + 2n

esta clase de limites funcionan de la misma manera de los anteriores, claro esta que hay que escoger una potencia que sea la mayor de todas... para ello hay que …jarse ahora en la base mas alta... para el caso de este ejercicio, la base mas alta es 6n por lo tanto, factorizando por esapotencia: ! p n n 3 3n 2 4n 6 1 6n p 3 4 n 6 + p 3 + 2 6 1 n n n n+1 n n 1 6 6 6 3 + 2 4 6 6 6 lim = lim = lim n n n!1 n!1 n!1 6n 2 3n 1 + 2n 6n 2 3 1 3n 2n 3 2 6n + n 1 2 3 1 + n n 6 6 6 6 6 Aqui hay que tener claro que la funcion exponencial es decreciente cuando la base de esta funcion es un numero menor que 1, por lo tanto, si n ! 1, vale decir, si el numero escogido para n es muy grande, estasfunciones se acercaran a cero, por lo tanto, todas las expresiones exponenciales fraccionarias tienden a cero, con ello: n n p 4 3 + 2 6 1 3 6 1 1 6 6 lim = n n = n!1 1 6 3 2 1 2 3 1 + 6 6 entonces: p 3n+1 + 2 4n 6n lim n!1 6n 2 3n 1 + 2n 1 p
1

=

1 6

(6) Calcule lim p
n!1

n

n+1 2

Cuando se presentan limites con raices se racionaliza para eliminarlas.. sin embargo hay que tenercuidado con los indices de las raices que aparecen. Para el caso de raices cuadradas se racionaliza para formar una diferencia de cuadrados, en el caso de raices cubicas se racionaliza formando una diferencia de cubos que NO ES IGUAL a la racionalizacion cuadratica, ya que en el caso de las raices cuadradas se considera la formula: (a Y para el caso de raices cubicas: (a b)(a2 + ab + b2 ) = a3 b3b)(a + b) = a2 b2

en el caso del ejercicio 6 se racionaliza formando una diferencia de cuadrados, entonces: p p p p p p n+ n+1 n+ n+1 1 p p = lim = lim n+ n+1 = lim p p n!1 n!1 n n+1 n + n + 1 n!1 n (n + 1) por lo tanto:
n!1

1

lim p

n

1 p

n+1

=

1

(7) Calcule lim

n!1

p 3

n

p 3

n+1

utilizando lo anterior y observando que las raices son cubicas,...