Limites De Una Función, Teoría Y Talleres

INSTITUCION EDUCATIVA EZEQUIEL HURTADO
GRADO UNDECIMO

LIMITES DE UNA FUNCIÓN
De manera similar a lo acontecido con las sucesiones, podemos observar el comportamiento de una función cuando lavariable x se acerca a un valor determinado. Es de anotar que se trabajará con funciones de la forma: y 0 f8x), donde xϵR, es decir, funciones dentro del conjunto de los números reales.
Para comprenderel concepto de límite de una función, observemos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: sea la función y = f(x)= x2 que sucede con los valores de la función, cuando los valores de x de aproximan a 2, tantopor la derecha como la izquierda.
X | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 1,95 | 1,98 | 1,99 | 1,999 |
F(x) | 2,25 | 2,56 | 2,89 | 3,24 | 3,61 | 3,8 | 3,92 | 3,96 | 3,99 |
F(x)-4 | -1,75 | -1,44 |-1,11 | -0,76 | -0,39 | -0,2 | -0,08 | -0,04 | -0,01 |
Entonces: lim x→2x2=4

X | 2,5 | 2,4 | 2,3 | 2,2 | 2,1 | 2,05 | 2,02 | 2,01 | 2,001 |
F(x) | 6,25 | 5,75 | 5,29| 4,84 | 4,41 | 4,2 | 4,08 | 4.04 | 4,004 |
F(x)-4 | 2,25 | 1,76 | 1,29 | 0,84 | 0,41 | 0,2 | 0,08 | 0,04 | 0,004 |
Entonces: lim x→2x2=4
Por lo tanto podemos decirque:
lim x→2x2=4
Observe que la diferencia de f(x) – 4, se aprecia que si la distancia entre el valor de x y 2 es lo suficientemente pequeño,x-2<ε ; los valores de f(x) se aproximan cada vez más a 4, entonces: fx-4<δ, gráficamente:
Recuerda:
x-2<ε ↔-ε<x-2<ε
-ε+2<x<ε+2
↔(2-ε,2+ε) y|f(x)-4|<δ↔f(x)ϵ (4-δ, 4+δ)



En algunos casos los límites se pueden calcular por sustitución directa.
Ejemplos:
a) limx→2 x2=22=4

b) limx→1 2x+1=21+1=3

c)limx→412x=12(2)=14

d) lim⁡x→3 8x=512

e) lim 5x-1x→-3=-16

Pero en otros casos no resulta fácil este cálculo.
Ejemplo1:
limx→-1 (2x+3)(x+1)(x+1)=1(0)0=00=No está determinada.
En...