Limites de una sucesion

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTLA GUTIERREZ

Alumno:
Carlos Giovanni González Martínez

Nombre del Catedrático:

Nombre del Trabajo:
Investigación de la tercera unidad

Área:
ING. Físico Matemático

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas a martes 15 de noviembre del 2010

3.1. LIMITES DE UNA SUCESION
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismoda una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite.La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

Definición formal
Una sucesión  tal que  tiene límite , cuando  tiende a , si para todo valor  por pequeño que sea, hay un valor  a partir del cual si  tenemos que la distancia de  a es menor que , es decir:
.

Propiedades* Si una sucesión  tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
* Si una sucesión  tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
* Si una sucesión  converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
* Si unasucesion  tiende a menos infinito y  entonces  tiende a 0.

3.2. Límite de una función de variable real.
1. Función real de variable real
"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R es decir
f:D c RR
xf(x)=y"
Nota: Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley
Nota: Se llaman funciones reales porque su recorrido es R y de variablereal porque el dominio pertenece a R
Nota: x es la anti-imagen de y por f; x es la invariable y es la imagen de x por f; y es la variable
Nota: f(x)=y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x
Nota: D es eldominio de la función f y se denota Dom (f)=Df=D

3.4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Generales
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
*
* Límite por un escalar.
donde k es un multiplicador escalar.
* Límite de una suma.

* Límite de una resta.

* Límitede una multiplicación.

* Límite de una división.

Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. Enalgunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos trescasos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

3.5.LIMITES LATERALES

Límites laterales
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos...