Limites, derivadas, integrales

´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO

Instituto de Matem´ticas a

CALCULO I MAT 201

Profesora: Elena Orellana Villaz´n. o

Valpara´ 2011. ıso,

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´ Indice general
1. L´ ımites y Continuidad 1.1. L´ ımites de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Algebra de L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. L´ ımitesLaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 9 9

1.1.4. Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5. Funci´n Exponencial y Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 16 o 2. Derivadas 19

2.1. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1. Interpretaci´n Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 o e 2.1.2. Algebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1.Aplicaci´n F´ o ısica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2. Raz´n de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 o 2.2.3. Derivada de una Funci´n Impl´ o ıcita . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.4. Derivada de una Funci´n Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 29 o 2.3. M´ximos y M´ a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1.Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2. Valor M´ximo y M´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3. Criterio de la Primera Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.4. Criterio de la Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.5. Regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3

3. Antiderivadas

413.1. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. M´todos de Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 e o 3.2.1. Sustituciones o Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Integraci´n por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 o 3.3.1. F´rmulas de Reducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 47 o o 3.3.2. M´todo de descomposici´n en fracciones parciales . . . . . . . 50 e o Fechas Pruebas 1. Primera Prueba: Miercoles 20 de abril, clave 1-2. 2. Segunda Prueba: Miercoles 25 de mayo, clave 1-2. 3. Tercera Prueba: Miercoles 22 de junio, clave 1-2. 4. Controles semanales 5. Examen: Lunes 4 de julio. Ponderaci´n Pruebas: 80 % o Ponderaci´n Controles: 20 % o

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Cap´ ıtulo 1 L´ımites y Continuidad
1.1. L´ ımites de Funciones
> 0, una vecindad de a,

Definici´n 1 (Punto de Acumulaci´n) Sean a ∈ R y A ⊆ R. Diremos que un o o punto a es un punto de acumulaci´n de A si para todo o V (a) contiene alg´n punto p ∈ A diferente de a. Es decir, u ∀ε > 0, (Vε (a) − {a}) ∩ A = ∅ La definici´n anterior es equivalente a decir que: o (∀ε > 0)(∃p ∈ A)(|p − a| < ) Donde, |p − a| < ⇔ − + a< p < + a El conjunto de todos los puntos de acumulaci´n se denota por: o A = {a ∈ R : a es punto de acumulaci´n} o Observaci´n: Una vecindad de tama˜o o n contiene al punto a y es de la forma: V (a) =]a − , a + [ Ejemplo 1 1. Sea A = Z, A = ∅ 2. Sea A =]a, b[, como toda vecindad de a y de b intersecta a A se tiene que A = [a, b] 5 > 0 de un punto a, es un abierto que

3. Sea A = Q, A = R 4.Sea A =] − 1, 2] ∪ {4} ∪ [5, 7[, 4 no es punto de acumulaci´n de A pues para o V =]3, 5[ se tiene que (V − {4}) ∩ A = ∅
1 5. Sea A = { n : n ≥ 1}, A = {0}.

Proposici´n 1 Sea A ⊆ R un conjunto no vac´ Un punto a es de acumulaci´n, o ıo. o si y s´lo s´ toda vecindad de a contiene infinitos puntos de A. o ı, Definici´n 2 (L´ o ımites de Funciones Reales) Sean A ⊆ R, a ∈ A , f : A → R una funci´n...