Limites, derivadas, teorema del valor medio y de rolle. maximos y minimos relativos

Limites:

Asíntotas:

Una asíntota es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.

Calculo de asíntotas

Asíntotavertical

Si existe alguno de estos dos límites:

[pic]
[pic]
a la recta x = a se la denomina asíntota vertical.

Asíntota horizontal

Si existe el límite:

[pic], siendo a un valor finito
la recta y = a es una asíntota horizontal

Caso particular

Si para la función [pic] se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes(ver valor absoluto), se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:

[pic] y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

| |
|Hipérbola equilátera |

Asíntota oblicua

Dada la función 

[pic] y observando su gráfica:

se puedeconcluir que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua.

Si los siguientes límites existen y son finitos:

[pic]
[pic]
entonces existe una asíntota oblicua, y la ecuación de la recta asíntota oblicua está dada por:

y = mx + b
En este ejemplo la asíntota oblicua es la recta de ecuación y = x + 2

Continuidad de una función en un punto:

Se dice que unafunción f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

[pic]

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

[pic]

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

[pic]

Estudiar la continuidad de [pic]en x =2f(2)= 4

[pic]

[pic]

Continuidad en un intervalo

Una función f es contínua en un INTERVALO ABIERTO si y sólo si, f es contínua en TODO punto del intervalo

Una función f es contínua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y sólo si, f es contínua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha en a y contínua por la izquierda en b.

Definiciones similares seestablecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Así, por ejemplo, la función f(x) = [x] (mayor entero menor o igual a x), es contínua en los intervalos de la forma (n - 1, n), n e Z ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante. Recuérdese que Z representa el conjunto de los números enteros.
Ejemplos
1.-¿Es la función f(x)=x2 continua en el intervalo (-1,1)? ¿Y en el intervalo [-3,4]?
2.- ¿Es la función [pic]continua en el intervalo [-1,1]?
3.- Estudiar la continuidad de la función [pic]en el intervalo [0,1]
4.- Hallar los puntos de discontinuidad de la función
[pic]

y cuya gráfica aparece en la fig. 2.8
Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3].

Gráfica con unadiscontinuidad removible (o agujero)

Trazar la gráfica de f.
[pic]
Solución
Si x ≠ 4, se cancela el factor x − 4, o sea,
[pic]

Así, la gráfica de f es la misma que se trazó en el ejemplo 1, con una excepción: hay un
agujero en la gráfica en x = 4.
Para determinar el valor correspondiente de y, se usa la forma reducida de la función,
con lo que se obtiene f(4) = 1/(4 − 2) = El punto (4,) está indicado por el pequeño
círculo de la figura

Se debe hacer notar que las calculadoras con medio graficador, o programas de
computacionales para gráficos, podrán no indicar esta particularidad de la gráfica.
Las gráficas de las funciones racionales pueden complicarse mucho a medida que
aumentan los grados de los polinomios de numerador y denominador. Se deben utilizar
técnicas...