Limites, derivadas y cónicas

LIMITES

El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.
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No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función. Se escribe como "y → 4". [pic]
Para hallar el límite de esta función(paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", o sea, (x – 1).
Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite,sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:  [pic]
Indicamos con el signo"–" (colocado como súper índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:
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Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la funciónno tiene límite en x = 1.
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Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.
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Definición matemática de límite

Hemos visto que el proceso de límite es un "acercamiento perpetuo" a un valor determinado de x (al que llamaremos xo) en una función, sin importarnos cual sea la imagen de x.Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo (a, b), salvo quizás en xo perteneciente a (a, b). Decimos que f(x) tiene límite L cuando x se acerca a xo notándolo (escribiéndolo como) :

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La definición nos habla de un intervalo (a, b) dentro del cual hallamos el valor de xo que buscamos. No nos sirve que esté fuera ya que queremos indicar claramente donde podemosencontrarlo. Si decimos que xo pertenece al intervalo (1, 2) ella tiene muchos valores posibles pero siempre será mayor que 1 y menor que 2. Así que cuanto más pequeño sea el intervalo, mejor "definido" estará el valor de xo.  Justamente la distancia entre a y xo se denomina δ. Como a y b son valores de x esa distancia (que la calculamos como una resta) se escribe x – xo. Nos interesa el valor de ladistancia por lo que la operación se encierra en un módulo (valor absoluto).
Así δ es la distancia entre xo y cualquiera de los extremos del intervalo que lo contiene. Cuando se escribe [pic]se quiere decir que existe una δ cuyo valor es positivo (mayor que cero) ya que representa una distancia.
Cuando se escribe: [pic]Se está diciendo que ese valor lo calculamos restando los extremosdel intervalo con el valor medio que representa xo. Determinando un entorno reducido cuyo radio es δ.
Lo mismo sucede en la imagen, pero en este caso el radio del entorno reducido se denomina ε. Así que [pic]se traduce como: para todo épsilon que es mayor que cero. Nuevamente tenemos una distancia pequeña y positiva que corresponde a las imágenes. Donde antes teníamos a x ahora encontramos af(x), donde estaba xo ahora nos encontramos con su imagen L, así tenemos que [pic]
Entonces ahora traduzcamos la definición de límites:
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Tenemos un límite de x tendiendo a xo cuyo límite es L, si y sólo si, para todo valor de épsilon mayor que cero, existe un valor delta, también mayor a cero, de manera que la diferencia (recta) entre x y xo sea positiva y menor a delta,entonces, hallaremos una diferencia entre f(x) y L de manera que sea menor a épsilon.
Esta definición relaciona los radios de los entornos reducidos entre sí y nos permite "elegir" cuan pequeños queremos que sea ese intervalo. δ se halla sobre el eje x, mientras que ε se halla sobre el eje y.
Propiedades De Los Límites.
✓ [pic]siempre que no aparezca la indeterminación [pic].
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