limites esiqie

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias
Extractivas

AUTOR: Prof. Eduardo Rodríguez Guerrero

Unidad temática No. 1
LÍMITES

Subtemas:
Límites
Asíntotas
Derivadas

Noción intuitiva de límite.

1

Una manera de apreciar de manera intuitiva el significado de límite, es mediante el
análisis del comportamiento de las imágenes de la siguiente función cuando a lavariable independiente se le asignan valores cada vez más cercanos a 1; ya que para
tal valor de la función presenta un límite infinito, y resulta entonces interesante saber
si
se aproxima a algún valor específico.

En las tablas siguientes se muestra una lista de valores asignados a
acercándose
infinitamente al valor 3 tanto por la izquierda como por la derecha, así como los valores
calculadospara la función.

x

f(x)

x

f(x)

0

1.0

2

5

0.3

1.60

1.7

4.4

0.5

2.00

1.5

4*

0.75

2.50

1.25

3.5

0.9

2.80

1.1

3.2

0.95

2.90

1.05

3.1

0.99

2.980

1.01

3.02

0.995

2.990

1.005

3.01 **

0.999

2.9980

1.001

3.002

0.9995

2.9990

1.0005

3.001

0.9999

2.9998

1.0001

3.00020.99999

2.99998

1.00001

3.00002

.

.

.

.

Infinito

1.000

infinito

1.00

2

Observando la secuencia de valores tanto para como para la función, se tiene que
conforme los valores de se aproximan al valor 3 tanto por la izquierda como por la
derecha, los valores de
se aproximan al valor de 1.
Dándole al término límite un significado intuitivo, se dice que:El "límite" de la función

es 3 cuando

x “tiende” a 1.

Esta afirmación frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las
siguientes formas:
{Se lee:

tiende a 3 cuando

tiende a 1}

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra
"límite", se dice que:

“El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es L”
Nota. Se puede estar tan cercade L tanto como se quiera, haciendo que x esté lo más
próximo de a pero nunca igual.

3

Definición formal de límite.

|

|

|

|

Como se puede ver en la siguiente figura, el valor de “épsilon” define de manera única
un intervalo abierto con punto medio (L), que es el límite de función, y cuyos extremos
son los valores dados por
respectivamente.

Así mismo, es importanteseñalar que el valor asignado a “épsilon”, asegura la
existencia de un cierto valor para delta de tal forma que para todo x contenido en el
intervalo I, le corresponderá una “imagen” de la función f que invariablemente estará
dentro del intervalo

4

Teoremas sobre límites
Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, son herramientas muy
útiles que permiten determinar, en muchoscasos, el límite de una función, sin tener que
recurrir al empleo directo de la definición formal de límite.
Teorema 1. (Unicidad del Límite)
Si se tiene,

Dicho de otra forma,
“Si una función tiene límite en un punto a,
entonces dicho límite es único”

Teorema 2. (Algebra de Límites)
Sea

es un entero positivo,

una constante real y

son funciones tales que:

Entonces:

“Ellímite de toda constante, es la constante misma”
[

]

“El límite de una suma algebraica (suma o resta) de funciones,
es igual a la suma algebraica de sus límites”
[

]

“El límite de un producto de funciones, es igual al producto de sus límites”

“El límite del producto de dos funciones, siendo una de ellas la función
constante, es igual a la constante multiplicada por el límite de laotra
función”.
5

[

]

“El límite de un cociente de funciones, es igual al cociente de sus límites”

Teorema 3. (Límite de funciones iguales)
Sean
tales que:

dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a,

Entonces, se tiene que:

===================
Demostración de límites aplicando los criterios de épsilon y delta.
En los siguientes ejemplos, dado...