Limites Laterales

-------------------------------------------------
Límites laterales.
 
 
Rate This

Límite por la derecha.
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a,c). Entonces, el limite de f(x), conforme x se tienda a “a”  por la derecha es “L”, lo que se denota por:
lim f(x)= L
x—-> a+
si para cualqier  ε>0, sin importar que tan pequeña sea, existe una  δ> talque   si 0< x- a < δ entonces  |f(x) – L| < ε.
Límite por la izquierda.
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d,a). Entonces, el limite de f(x), conforme x se tienda a “a”  por la izquierda es “L”, lo que se denota por:
lim f(x)= L
x—-> a-
si para cualqier  ε>0, sin importar que tan pequeña sea, existe una  δ> tal que   si 0< a - x < δ entonces |f(x) – L| < ε.

Aquí un ejemplo, consideremos la función:

 
 
y calculemos ambos límites laterales cuando x tiende a 2. Como para valores x mayores que 2.

 
se tiene que:

 
Para calcular el otro limite lateral, tenemos en cuenta que cuando x es menor que 2.

 
y, por lo tanto

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que seaproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por :

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por :

Aquí un ejemplo, consideremos la función:

 
 
y calculemos ambos límites laterales cuando xtiende a 2. Como para valores x mayores que 2.
Ejemplos:
Indicar si las siguientes funciones tienen límites en los puntos indicados:

2.-

4.5.1 Estudie la existencia de los siguientes límites y calcule su valor o los valores
de los límites laterales correspondientes, cuando existan:
l´ım
x→2
x2 + x − 6
x2 − 4
l´ım
x→0
|x|
x2 + x
l´ım
x→0
(2 + sen(1/x)) l´ım
x→0
√x
2 + sen(1/x)Solución: Numerador y denominador de
x2 + x − 6
x2 − 4
son funciones continuas
por lo que, salvo que de lugar a indeterminación, el límite coincide con
el cociente entre los límites de numerador y denominador. En este caso ambos
son cero y se produce la indeterminación. Pero al tratarse de polinomios
que se anulan para x = 2, el teorema de Fubini garantiza que ambos son
divisibles por x −2, asi que, para cada x 6= 2 se tiene la igualdad
x2 + x − 6
x2 − 4
=
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x + 2)
=
(x + 3)
(x + 2)
y ahora es claro que
l´ım
x→2
x2 + x − 6
x2 − 4
=
5
4
.
Para el caso l´ımx→0 |x|
x2 + x
tenemos otra vez una indeterminación. De nuevo
podemos dividir numerador y denominador por x. Pero, ahora |x|/x, que es
lo que se conoce como «signo de x», es la función _definida por
_(x) =

1 si x > 0
−1 si x < 0
y entonces se tiene
l´ım
x→0+
|x|
x2 + x
= l´ım
x→0+
1
x + 1
= 1
mientras que
l´ım
x→0−
|x|
x2 + x
= l´ım
x→0,x−
−1
x + 1
= −1.
Así pues, el límite no existe aunque existen los límites laterales.
l´ımx→0(2+sen(1/x)) = 2+l´ımx→0(sen(1/x)), pero este límite no existe porque
tomando las sucesiones convergentes a cerodefinidas por xn = 1/(2n_) y
xn = 1/(2n_ + _/2) se verifica que
l´ım
n→∞
(sen(1/xn)) = 0 6= 1 = l´ım
n→∞
(sen(1/x′n)).
138
4.5 Ejercicios resueltos 139
Por último en el caso de l´ımx→0
√x
2 + sen(1/x)
el numerador tiene límite cero
y el denominador no tiene límite. A pesar de ello existe el límite buscado y
vale 0 ya que
0 ≤____
√x
2 + sen(1/x)
____
≤ |√x|
1
, al ser 1 ≤ 2 +sen(1/x) ≤ 3
y si
l´ım
x→0
____
√x
2 + sen(1/x)
____
= 0
también es
l´ım
x→0
√x
2 + sen(1/x)
= 0
y por tanto el límite es 0. _
4.5.2 Estudie el dominio y la continuidad de las siguientes funciones.
f(x) = x2 sen
1
x
g(x) =
(1 + x)n − 1
x
h(x) =
log(1 + x) − log(1 − x)
x
Solución: Haciendo uso de la continuidad de ciertas funciones que hemos
ido estableciendo en los...