Limites Laterales

Límites y Continuidad
1. Límite de una función en un punto. Propiedades.
2. Límites en el infinito.
3. Ramas Infinitas. Asíntotas de una curva.
4. Cálculo de límites. El número e.
5. Función continua en un punto y en un intervalo. Propiedades.
6. Teoremas relacionados con la continuidad de las funciones.
Objetivos Mínimos
• Conocer los conceptos de límite de una función en un punto(tanto finito como no finito) y de límite en el ∞ (tanto finito como no finito).
• Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite.
• Saber determinar las asíntotas y ramas parabólicas de una función.
• Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites. Reconocer los tipos principales de indeterminación en el cálculo de límites.
• El número e como límite de lasucesión: . Aprender las principales técnicas de resolución de indeterminaciones, en especial las relacionadas con el número e.
• Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral.
• Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué significa eso en los extremos del intervalo.
• Conocer los distintoscomportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales.
• Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.
• Principales resultados en relación con la continuidad de una función en un intervalo:teorema de conservación del signo,teorema de Bolzano, teorema de los valores intermedios y teorema de Weierstrass.








Ideaintuitiva de límite funcional.-
Observa la gráfica de la siguiente función:
Podemos ver en la gráfica que a medida que los valores de x están más próximos a cero los valores de la función se “aproximan” más a dos.
Esto lo apreciamos claramente en la siguiente tabla de valores:
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 .... 0 .... -0,001 -0,01 -0,1
f(x) 1,92 1,99 1,999 1,9999 ……. 2 …… 2,0007 2,0072,078
Observa la gráfica de esta otra función:
Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2 los valores funcionales de se hacen cada vez mayores.
Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores:

x -1,9 -1,99 -1,999 .... -2 ... -2,001 -2,01 -2,1
f1(x) 100 10000 1000000 ….
…. 1000000 10000 100
Observa la gráfica de esta nueva función:

En este casopodemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los valores funcionales se “aproximan” cada vez más a cero.
Observa la siguiente tabla de valores:
x 10 100 1000000 ....

f1(x) 0,8 0,08 0,000008 …. 0

Por último, observa la gráfica de esta función:
En este caso, sobre la gráfica se observa que a medida que los valores de “l” crecen los valores de “T” crecen, también, cadavez más.
Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente:

l 10 100 1000000 ....

T 6,32 20 2000 ….


Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite funcional.
Diremos que el límite de una función es ( puede ser cualquier número real o ) cuando x se aproxima a ( puede ser cualquier número real o ) sisucede que cuanto más se concentran los valores de x en las proximidades de , los valores funcionales correspondientes se concentran en las proximidades de .

Todo esto se escribe de modo matemático así:




1. Límite de una función en un punto.-

A) LÍMITES LATERALES FINITOS.

A1) Límite por la izquierda:
Se dice que si cuando x toma valores próximos a , por suizquierda, toma valores cada vez más próximos al número .
A2) Límite por la derecha:
Se dice que si cuando x toma valores próximos a , por su derecha, toma valores cada vez más próximos al número .
Ejemplo.-

Observa sobre el gráfico de esta función como se cumple que:



Fíjate ahora en este otro ejemplo:

La función que tiene esta gráfica cumple que:



En el primer caso...