limites matematicos



Introducción

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
En matemáticas, el límite de unafunción es un concepto que describe la tendencia de ´esta, a medida que su variable dependiente se acerca a un determinado valor. Después del trabajo con números reales y funciones estamos preparados para introducir esta nueva e interesante idea. Una motivación para el estudio de límites y sus generalidades es que este concepto se emplea en la definicion de nociones fundamentales en el cálculo comocontinuidad, derivación e integración.
El concepto formal de límite de una función es algo complejo, por esta razón, en este tema la intuición tiene un papel definitivo y procuraremos evitar en lo posible las formalizaciones pues en este nivel ´estas no aportan más claridad.












Objetivos

Definir Límites.
Realizar demostraciones formales de límites.
Describir gráficamentelos límites.
Calcular límites

















Limites
Concepto de Limite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntossuficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Consideremos la función f(x)=x2.
Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3.
x
f(x)
2,8
7,84
2,9
8,41
2,95
8,7025
2,99
8,9401
2,999
8,994001
3,001
9,006001
3,01
9,0601
3,05
9,3025
3,1
9,61
3,2
10,24
Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando xtiende a 3.







En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a.
En símbolos, limx->af(x)=b.

Teoremas sobre límites
 Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Losteoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
 
Teorema de límite1:
Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces


Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,


Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces







Teorema de límite4:


Teorema de límite5:

 
Teorema de límite6:
Si  f es un polinomioy a es un número real, entonces

 
Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces




Teorema de límite8:
















Evaluacion de Limites por el uso de Teoremas
Desarrollo de los siguientes ejercicios


















S o l u c i o n e s
 
1. Solución:

 
2. Solución:

 
3. Solución:


4.Solución:




 5. Solución:


 6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:


 7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar ysimplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):






 8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:


 9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma...