limites matematicos

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

Se determinaba la existencia  de un límite en base a una gráfica o tabla de valores numéricos, por lo que esto no es práctico y es aconsejable evaluar los límites de manera analítica. Para ello es importante considerar y utilizar las propiedades de los límites:Así mismo consideraremos los límites de las funciones trigonométricas, dadas como continuación de la tabla 3.2.2.


Definición de la derivada. Características y gráficos


































Propiedades de las derivadas




 
Dentro de las propiedades de la derivación se consideran las reglas de derivación
de funcionesalgebraicas:


 
 


 
 
Reglas de las cadenas
 
 
 Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable
en un cierto intervalo I,
 
                                             
 
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene
a todos los valores (imágenes) de la función f,
 
                                           
 
entonces lafunción compuesta
 
                                     
 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
 
                                     
 
 

Ejemplo: cálculo de derivadas

 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
 Resolución:
 
 La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.
 
                                       
 

 
 Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
 
              
 
 Por la regla de la cadena,
 
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
 

 
Resolución:
 


 
                                                                      
                         
 
 
 De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,


 
 Por la regla de la cadena,
 
                                
 
Regla de la cadena para la función potencial
 
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
                                    
 
aplicando la regla de la cadena, será:
 
                                 [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
 
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u 

en lugar de u(x).
 
Así,
                           
 
 
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
 Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
 
Resolución:
 
 Si u = x2 + 1, u' = 2x
 
En este caso m = 3
 
 f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

 
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
 
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), 
en virtud de la regla de la cadena se tiene que
 
                                             
 Ejercicio: cálculo de derivadas


 
Resolución:
 

 
 Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
 
                           
 
 Se aplica la regla de la cadena:
 

 
 Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
 
Resolución:
 
 u = sen x; u' = cos x 

 
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
 
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene
que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
 ...