Limites Maximos Y Minimos
11.4 CONSTRUCCIÓN DE GRAFICAS
Con toda la información que tenemos acerca de la derivada y el límite de una función, nos es posibleesbozar, de manera muy completa, la gráfica de una función . Para esto, procedemos como sigue:
Primer paso . Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación , para determinar los valorescríticos.
Segundo paso . Hallamos la segunda derivada y resolvemos la ecuación , para determinar las abscisas de los puntos de inflexión.
Tercer paso . Calculamos las ordenadas de los puntos críticosy de los puntos de inflexión.
Cuarto paso . Hallamos, si es posible, los puntos de intersección de la curva con el eje X , haciendo , y los puntos de intersección de la curva con el eje Y ,haciendo . Si el problema así lo requiere, determinamos las simetrías y las discontinuidades de la función.
Quinto paso . Localizamos en un papel los puntos que se han determinado y se bosqueja lacurva.
Dadas las siguientes funciones, determinar los máximos y mínimos relativos. Construir la gráfica.
Ejemplo 1.-
Solución: Hallamos la primera derivada
Resolvemos la ecuaciónLos valores críticos son:
Hallamos la segunda derivada:
Aplicando el criterio de la segunda derivada:
;
Por lo tanto, en , existe un máximo relativo dado por yen , existe un mínimo relativo dado por
Punto máximo: , se forma una “ ”; Punto mínimo: , se forma un “ ”
Hallamos el punto de intersección con el eje Y , haciendo : .Ejemplo 2.
Solución: Hallamos la primera derivada
Resolvemos la ecuación
Los valores críticos son:
Hallamos la segunda derivada
Aplicando el criterio dela segunda derivada:
;
Por lo tanto, en existe un máximo relativo dado por y en existe un mínimo relativo dado por
Punto máximo forma una“ ”; Punto mínimo forma un “ ”...
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