limites que involucran funciones trigonometricas

Límites que involucran funciones trigonométricas
Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos yaestudiados. 
Vamos a probar que:

a.
   donde  es un ángulo que se mide en radianes.
 
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: , donde  el la longituddel arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio , cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura: 

 
 es la medida del arco  
 es elradio del círculo 
Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo  cuya medida en radianes es  
 

En este caso como  se tiene que  por lo que  
El triángulo  es rectángulo y suscatetos  miden respectivamente  (Note que ). 
Por el teorema de Pitágoras se obtiene que: 
 
Como la longitud de  es menor que la longitud del arco , es decir, es menor que , se tiene que: 
 
Comolos dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que: 
 
y como  entonces: 
 
de donde  
Si  es unnúmero positivo, podemos tomar  de tal forma que siempre que . 
De otra manera:  siempre que  por lo que, y similarmente,  siempre que  por lo que  
De esta forma hemos probado los dos límites.
b.Vamos a probar ahora que  
Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente seobtiene la forma . 
Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por  el ángulo central  (siendo en radianes su medida), con , como se muestra en la figura siguiente: 
 

 
Puedeobservarse que: el área del  el área del sector  el área del  (1). Además se tiene que:
el área del . 
el área del sector  
el área del  
Sustituyendo en (1):
 de donde  
Como  entonces , por lo que...