Limites Trigonometricos 2
En el cálculo de los límtes se utilizarán los siguientes resultados:
I)
sinx
=1
x
lim
x→0
II)
sinax
= 1 , siendo a una constante real distinta de cero.
ax
lim
x→0
III)
lim
sinx − a
=1
x−a
IV)
lim
sinkx − a
= 1, siendo k una constante real distinta de cero.
kx − a
x→a
x→a
Cálcule, en caso de existir, los siguientes límites:
1.
tan3x
x
lim
x→0
2.sin2x + sin3x
sin4x + sin5x
lim
x→0
3.
x + sin 2 2x
x + sin 2 3x
lim
x→0
4.
1 − cosax
, siendo a una constante real distinta de cero.
x
lim
x→0
5.
1 − cosax
, siendo a una constante real distinta de cero.
x2
lim
x→0
sinx − sina
x−a
6.
lim
7.
sinx
lim x − π
x→π
8.
lim
x→a
sin2x − 1
4x 2 − 1
x→ 12
9.
x→
10.
π
2
lim
x→
11.
cosx
2x − π
lim
π
4lim
x→
π
4
tan4x
4x − π
sin2x − 1
4x − π
Límites con funciones trigonométricas
Sergio Yansen Núñez
12.
lim
x→0
13.
lim
x→
14.
π
2
lim
x→0
1 − cos5x
x
sinx − 1
cos2x + 1
1 + sin2x − 1 − sin3x
x
Límites con funciones trigonométricas
Sergio Yansen Núñez
Resolución:
1.
sin3x
tan3x
cos3x
sin3x
lim
=lim
=lim
x
x
x→0
x→0
x→0 x cos3x
=lim
x→0
sin3x
sin3x
1
1
⋅=lim 3 ⋅
⋅
x
3x
cos3x x→0
cos3x
límite II
= 3⋅1⋅ 1 = 3
1
2.
sin2x
sin3x
1
+
sin2x + sin3x
sin2x + sin3x
x
x
x
lim
=lim
⋅
=lim
1
sin4x
sin5x
x→0 sin4x + sin5x
x→0 sin4x + sin5x
x→0
+
x
x
x
2⋅
=lim
x→0
sin2x
sin3x
+3⋅
2x
3x
sin4x
sin5x
4⋅
+5⋅
5x
4x
= 2⋅1+3⋅1 = 5
4⋅1+5⋅1
9
límite II
3.
sin 2 2x
1
1+
x + sin 2 2x
x + sin 2 2x
x
x
lim
=lim
⋅
=lim
2
22
1
sin 3x
x→0 x + sin 3x
x→0 x + sin 3x
x→0
1+
x
x
sin2x
1+2⋅
⋅ sin2x
sin2x
2x
1+
⋅ sin2x
x
=lim
=lim
= 1+2⋅1⋅0 = 1
1+3⋅1⋅0
sin3x
sin3x
x→0 1 +
⋅ sin3x x→0 1 + 3 ⋅
⋅ sin3x
x
3x
límite II
Límites con funciones trigonométricas
Sergio Yansen Núñez
1 − cosax
1 − cosax 1 + cosax
=lim
⋅
x
x
1 + cosax
x→0
lim
4.
x→0
=lim
1 − cos 2 ax
sin 2 ax
1
1
⋅
=
lim
⋅
x
x
1+ cosax x→0
1 + cosax
=lim
sinax
sinax
sinax
sinax
⋅
=lim a ⋅ ax
⋅
= a⋅1⋅ 0 = 0
x
1+1
1 + cosax
1 + cosax
x→0
x→0
x→0
límite II
En algunos textos, aparece lim
OJO:
x→0
5.
lim
x→0
=lim
x→0
1 − cosax
1 − cosax 1 + cosax
1 − cos 2 ax
1
=lim
⋅
=lim
⋅
2
2
2
1
+
cosax
1
+
cosax
x
x
x
x→0
x→0
sin 2 ax
sinax sinax
1
1
⋅
=lim
⋅
⋅
x
x
2
1 + cosax x→0
1 +cosax
x
=lim a ⋅
x→0
1 − cosax
= 0 como un límite fundamental.
x
2
sinax
sinax
1
⋅a ⋅ ax
⋅
= a⋅1⋅a⋅1⋅ 1 = a
ax
2
1+1
1 + cosax
límite II
límite II
Límites con funciones trigonométricas
Sergio Yansen Núñez
6.
lim
x→a
sinx − sina
x−a
Forma 1:
2 sin x − a cos x + a
sinx − sina
2
2
lim
=lim
x
−
a
x
−
a
x→a
x→a
sin x − a
2
=lim
x
−
a
x→a
2
⋅ cos x + a
2
límite IV
= 1. cos a +a
2
= cosa
Forma 2:
lim
x→a
sinx − sina
x−a
sea u = x − a
Realizando un cambio de variable:
cuando
lim
x→a
x→a
entonces
u→a
sinu cosa + cosu sina − sina
sinx − sina
sinu + a − sina
=lim
=lim
u
u
x−a
u→0
u→0
=lim
sinu cosa
cosu sina − sina
+
u
u
=lim
cosa
sinu
cosu − 1
+ sina
u
u
=lim
cosa
sinu
1 − cosu
− sina
u
u
lim
sinu
=1
uu→0
u→0
u→0
u→0
lim
u→0
y
1 − cosu
1 − cosax
= 0 (en la actividad 3 se obtuvo lim
= 0)
u
x
x→0
Por lo tanto,
lim
u→0
cosa
sinu
1 − cosu
− sina
u
u
Límites con funciones trigonométricas
= cosa ⋅ 1 − sina ⋅ 0 = cosa
Sergio Yansen Núñez
7.
sinx
lim x − π
x→π
Forma 1:
sinx − π
sinx
− sinx − π
lim x − π =lim
=lim−1 ⋅ x − π = −1 ⋅ 1 = −1
x−π
x→π
x→π
x→π
límiteIII
Forma 2:
sinx
lim x − π
x→π
sea u = x − π
Realizando un cambio de variable:
cuando
x→π
u→0
entonces
sinx
sinu + π
u =lim −1 ⋅ sin u = −1 ⋅ 1 = −1
lim x − π =lim
=lim − sin
u
u
u
x→π
u→0
u→0
u→0
límite II
8.
lim
x→ 12
sin2x − 1
4x 2 − 1
Forma 1:
sin 2 x − 1
sin 2 x − 1
sin2x − 1
2
2
lim
=lim
=lim
2
−
12x
+
1
1
2x
−
1
4x
1
1
1
x→ 2
x→ 2
x→ 2 2 x −
2x + 1
2
sin 2 x...
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