limites trigonometricos

LIMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Se dice que el límite de f de x cuando x tiende a “a” es igual a L.
Cuando x→a significa que nos aproximamos a x, pero no llegamos a tomar el valor de a.
Al aproximarse x a “a”, la función f(x) se aproxima tanto como nosotros queramos a L.
, que x esté próxima a “a” significa que x-a es menor que delta, que es un número tan pequeño como nosotrosqueramos.
, en este caso épsilon es un número pequeño pero en el eje de ordenadas.
Podemos acercarnos a “a” por la derecha o por la izquierda, es decir con valores mayores o menores que “a”, para que dé igual si es positivo o negativo, lo que nos importa es el valor de la resta, utilizamos el valor absoluto:

DEFINICIÓN:
Se dice que la función, f(x), definida en todo , excepto tal vez en el punto“a”, tiene como límite L, cuando x tiende a “a” y se expresa como , si para cualquier >0, existe un >0, de forma que si es mayor que cero pero menor que , entonces es menor que épsilon.

, significa que a no toma nunca el valor de x, porque el valor absoluto de su diferencia es mayor que 0
1. Si existe el límite de una función en un punto este es único (Unicidad del límite)
2. Para que existeel límite de una función f(x) cuando x→ a no es necesario que la función esté definida en el punto a, es decir no está definido f(a).
Ej.: En este ejemplo en f(1) no está definida la función.
Sea f(×) definida en el intervalo abierto (x1, x2), salvo tal vez en el punto a que pertenece al intervalo abierto (x1, x2)

LIMITES LATERALES
1. Límite por la derecha, sea la función definida f(x) enel intervalo abierto (x1, x2), salvo tal vez en el punto a perteneciente a dicho intervalo, decimos que existe el limite de la función f(×) por la derecha del punto a y que éste es igual a L, y lo expresamos como:

Esta expresión se diferencia de la expresión general en que x-a>0 no está entre barras de valor absoluto, por lo que para que esa diferencia sea positiva significa que x siempretiene que ser mayor que a, es decir nos aproximamos por la derecha, y que sea mayor que cero significa que x no puede ser igual a a, no puede tomar ese valor.
2. Límite por la izquierda, sea la función definida f(x) en el intervalo abierto (x1, x2), salvo tal vez en el punto a perteneciente a dicho intervalo, decimos que existe el límite de la función f(×) por la izquierda del punto a y que éste esigual a L, y lo expresamos como:

En este caso a-x>0 significa que a es mayor que x, por lo que nos estamos acercando por la izquierda.
Para que exista , tiene que existir y , y ambos deben de valer lo mismo.
Por ejemplo: Sea la función:

Por lo que no existe el límite de f(x) en el punto 2
El cálculo de los límites laterales, desde el punto de vista práctico, se realiza únicamentecuando existe la posibilidad de que en estos puntos sean diferentes los límites laterales, se pueden dar dos casos:
1. Funciones por partes, en los puntos en los que se parte la función. Ej.: anterior
2. En funciones racionales, en aquellos puntos que anulan el denominador.
En el resto de los casos no calcularemos los límites laterales.
NO EXISTENCIA DE DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTOEl límite de cuando , no existe si:
Los límites laterales son distintos o no existe alguno de los límites laterales.
El límite de la función en ese punto es igual a infinito.
Cuando el valor de la función cuando x se aproxima a a, oscila (ej. Pág. 32 del Libro)
CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

1. Operaciones con límites:

OPERACIONES
FUNCIÓN
PROPIEDADES
Adición
sumaopuesta


diferencia

Multiplicación
producto


inversa


cociente


Multiplicación por un número


producto por un número


constante

Composición
compuesta

g = raíz, log, sen, cos, tg

identidad

Potenciación
potencia


2. Sustitución directa, para calcular el límite de cuando , utilizamos la técnica de sustituir x por a, si obtenemos un...