Limites Y Asíntotas

MATEMATICAS 1º Bachillerato

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r=A+lu A

d B s=B+mv

L´ ımites-Continuidad
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

SOCIALES

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c 2004 gonzaleof@unican.es 31 de mayo de 2004

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L´ ımites y Continuidad

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MATEMATICAS 1º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 2. ¿Qu´ esun l´ e ımite? 2.1. C´lculo de l´ a ımites usando tablas 2.2. Algebra de los l´ ımites 3. L´ ımites laterales 4. L´ ımites Infinitos 5. L´ ımites en el Infinito 6. L´ ımites Indeterminados 7. C´lculo de l´ a ımites Indeterminados 0 7.1. Calculo de l´ ımites 0 • Por factorizaci´n • Por el conjugado o ∞ 7.2. Calculo de l´ ımites ∞ • Por divisi´n de la mayor potencia o 7.3. Calculo de l´ ımites ∞ − ∞ •Se hacen operaciones • Por el conjugado 7.4. Calculo de l´ ımites a±∞ 7.5. Calculo de l´ ımites f (x)g(x) 8. El n´ mero e u 8.1. Calculo de l´ ımites 1±∞

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Tabla de Contenido (cont.)

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9. Continuidad9.1. ¿Qu´ es una funci´n continua? e o 9.2. Definici´n de continuidad o 10. Discontinuidad 10.1.Discontinuidad Evitable 10.2.Discontinuidad de salto finito 10.3.Discontinuidad de salto infinito 11. As´ ıntotas 11.1.As´ ıntota Vertical 11.2.As´ ıntota Horizontal 11.3.As´ ıntota Oblicua 12. Cuestionarios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

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Secci´n1: Introducci´n o o

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1. Introducci´n o El concepto de l´ ımite es el fundamento del c´lculo. En el siglo XIX, emia nentes matem´ticos, Augustin-Louis Cauchy1 y Karl Weiertrass2 entre otros a trataron de precisar el concepto de l´ ımite. Ellos lograron dar una definici´n o rigurosa de l´ ımite, la definici´n −δ, que aunque la incluimos en este cap´ oıtulo no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto. El nivel de este cap´ ıtulo es adecuado para alumnos de 4o de ESO y 1o de Bachillerato. Se incluye en este cap´ ıtulo tambi´n el estudio del concepto de continuidad e de una funci´n que est´ basado en el concepto de l´ o a ımite. Se incide en la aplicaci´n de los l´ o ımites para la representaci´n de funciones, o sobre todolas racionales en el c´lculo de las as´ a ıntotas, horizontales, verticales y oblicuas.

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1 Eminente matem´tico frances (1789-1857) que escribi´ mas de 700 art´ a o ıculos, y fue pintor, abogado y escalador. 2 Eminente matem´tico alem´n (1815-1897) que precis´ la definici´n de continuidad. a a o o

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Secci´n2: ¿Qu´ es un l´ o e ımite?

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2. ¿Qu´ es un l´ e ımite? Para una funci´n matem´tica y = f (x), en un punto x = a, la expresi´n o a o ((l´ ımite de f (x) cuando x es tan pr´ximo a a como queramos)) (x → a), es el o valor al que se aproxima la funci´n cuando el valor de x se acerca a a tanto o como se quiera, simb´licamente lo escribimos de la forma ox→a
x→1

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l´ f (x) = L ım

As´ decimos que l´ x2 = 1 pues cuando x → 1, x2 → 1, ı ım o tambi´n decimos que l´ x2 = 4 pues cuando x → 2, x2 → 4, e ım
x→2

o bien decimos que l´ x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125. ım
x→5

Hay una definici´n formal de l´ o ımite pero por su dificultad se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva. A continuaci´nusaremos una t´cnica simple e intuitiva de calcular el o e l´ ımite dise˜ando una tabla de valores para la funci´n. Vamos a verlo. n o

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Secci´n 2: ¿Qu´ es un l´ o e ımite?

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2.1. C´lculo de l´ a ımites usando tablas Ejemplo 2.1. Determinar l´ ım x2 − 1 con una tabla de valores. x→1 x − 1...