Limites y continuidad / derivadas

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - SEDE SAN IGNACIO ________________________________________________________________________________

LIMITE DE FUNCIONES
B#  B  ' Consideremos la siguiente función real : 0 ÐBÑ œ , que está definida para B$

cualquier valor real menos el número $. Analicemos los valores que toma la función cuando x se aproxima al valor $.y

5

3

X

1)

Si nos acercamos por valores mayores que tres tenemos:

B 0 ÐBÑ
2)

% '

$Þ(& &Þ(&

$Þ& &Þ&

$Þ#& &Þ#&

$Þ" &Þ"

$Þ!" &Þ!"

$Þ!!" &Þ!!"

$Þ!!!" &Þ!!!"

$Þ!!!!" &Þ!!!!"

Si nos acercamos por valores menores que tres tenemos :

B 0 ÐBÑ

# %

#Þ#& %Þ#&

#Þ& %Þ&

#Þ(& %Þ(&

#Þ* %Þ*

#Þ** %Þ**

#Þ*** %Þ***

#Þ**** %Þ****

#Þ*****%Þ*****

Se puede apreciar claramente en las tablas que en la medida que x es suficientemente cercano al valor tres, las imágenes (de la función) se acercan al valor &.

P373>/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ

T 9< L/8/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ T 9< L/81 B

VÀ 

"=/8 B # BÄ1 1B

VÀ!

P373>/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ

T 9< L/8/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ

T 9< L/8/ C -98>38?3.+.,Derivadas Þ

T 9< L/8/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ o bien C œ 'B  * T 9< L/8 0)

Solución :

La tangente a determinar debe tocar la curva en el punto ( % , È% ) = ( %ß #) La pendiente de esta tangente está dada por el límite lim È%  2  È% 2

7œ

hÄ0

lim

È%  2  È% È%  2  È% %2% " " † œ lim œ = lim È% È% ) 2Ä! È%  2  È% ) È%  2  2Ä! 2 (È%  2  2 %

2Ä!

luego lapendiente es 7 œ " , de modo que usando la fórmula punto pendiente % obtenemos la ecuación buscada. C#œ
" %

(B  %)

o bien

Cœ

" %B

 ".

Ejercicios propuestos :

I)

Determine usando la definición de derivada 0 w (B0 ) si : a) b) c) d) 0 ÐBÑ œ $B#  % 0 ÐBÑ œ B" B 0 ÐBÑ œ B#  &B  ) 0 ÐBÑ œ ( B  " )# en B! œ & en B! œ  # en B! œ $ en B! œ %

II )

Determine la ecuación dela recta tangente a la curva C œ 0 ÐBÑ en el punto de abscisa B œ B! si : a) b) 0 ÐBÑ œ $B#  'B  $ 0 ÐBÑ œ )  #B  (B# en B! œ ( en B! œ  $

MÑ

TECNICAS DE DERIVACION

P373>/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ

T 9< L/8/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ en B œ > T 9< L/8 wB œ $ † Ð #B  ' Ñ# † # œ ' † Ð #B  ' Ñ# , de modo que 0 ÐBÑ œ ' † Ð #B  ' Ñ#  'B finalmente tenemos C
w B
w

œ

1 5[Ð #B  ' Ñ$  $B# ] - 5 [ ' † Ð #B  ' Ñ#  'B ].

4

Observación:

Este Teorema puede aplicarse también en el caso que la función dada esté compuesta por un mayor número de funciones intermedias, es decir : ( 0 ‰ 1 ‰ 2 ‰ ............‰ >) w B œ 0 w ( 1 ‰ 2 ‰ ......‰ >) † 1 w ( 2 ‰ .......‰ >) † 2 w ( ‰............‰ > ) † > w ( B ).

5)
5.1)
1.1)

DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTESDerivada de funciones logaritmicas .
" Si C œ 68 B , entonces C w ( B ) œ B Obs. Si ? œ 1 Ð B Ñ , entonces [ 68 ? ] wB œ

" ?

† 1 w ( B)

1.2)

Si C œ 691 + B , entonces C w ( B ) =

1 B 68 +

Obs.

Si ? œ 1 Ð B Ñ , entonces [ 691 + ? ] wB œ

1 ? 68 +

† 1 w ( B)

Ejemplos :
a) Si 0 ÐBÑ œ Ln ( 3x# - 7x) , entonces 0 ÐBÑ œ
w

1 † ( 'B  ( ) 3 B#  (B 0 ÐBÑ œ
w

6x - 73 x# - 7x 28

P373>/ C -98>38?3.+., Derivadas Þ

T 9< L/838?3.+., Derivadas Þ

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c)

0 ÐBÑ œ ( x$ + 5x# ) ( x

#

-1)

Solución.
0 ÐBÑ œ ( x$ + 5x# ) ( x
w #

-1)

[ 2x * ln (x$ + 5x# ) +

x# - 1 x$ + 5x# *

(3x# + 10x ) ]

d)

3 0 ÐBÑ œ ln È $B#  % B

Solución .
En este caso hay una composición de tres funciones, luego 0 ÐBÑ œ
w w

1 3 È $B#  % B

*

2 1 ( $B#  % B ) - 3 3

*

( 'B  % B † ln 4 )

0 ÐBÑ œ

'B  % B † ln 4 3 ( $B#  % B )

5.3)

Si 0 ÐBÑ œ ¸ B¸

Derivada de la función valor absoluto.
entonces 0 ÐBÑ œ
w w

En efecto, 0 ÐBÑ œ lim

¸B  2¸  ¸B¸ ¸B...