Limites y continuidad en dos variables


PAPER # 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD
Materia: CÁLCULO VECTORIAL
Semestre: II SEMESTRE
A. Fundamentación.


El concepto de límite es una herramienta básica y útil para el análisis de funciones: nos permite estudiar derivadas, y por tanto máximos y mínimos, asíntotas, integrales impropias, etc. En esta semana, se tratará una teoría de límites en varias variables, sobre la base del conocimiento que elestudiante tiene de funciones en una variable lo que le facilitará la comprensión y la apropiación de la misma.
CONCEPTOS BÁSICOS
La definición de límite para funciones de varias variables es similar a aquélla para funciones de una variable, pero con la salvedad de que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos encontrar el límite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensióndel espacio de las variables.
Mientras que en funciones de una variable hay sólo dos maneras de acercarnos a un punto del dominio —por derecha y por izquierda—, en funciones de varias variables hay infinitos caminos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que exista un límite, el mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos.
Igual que en funciones de una variable,para que una función de varias variables sea continua en un punto debe estar definida en el mismo, debe tener límite en él y el valor de la función debe ser igual al del límite. Si una función es combinación de otras continuas, será también continua excepto en aquellos puntos donde no esté definida.
PROBLEMAS
1 Conjuntos abiertos. Mostrar que el siguiente conjunto del plano es abierto:Solución
En el plano, un conjunto es abierto cuando dado un elemento (x; y) perteneciente al conjunto es posible trazar un disco alrededor de dicho punto tal que todos los elementos del disco pertenecen al conjunto.
En el caso de nuestro problema, tenemos que cualquier punto (x0; y0) perteneciente al conjunto estará a una cierta distancia de cada uno de los cuatro bordes, no pudiendo estar exactamentesobre los mismos dado que las desigualdades son estrictas.
En esas condiciones, para seleccionar un  tal que todos los puntos en un disco de radio  pertenezcan al conjunto, basta tomar:
 < mín{( x0 + 1), (1 - x0), (y0 + 1), (1 - y0)}
Esto es,  debe ser menor que la menor distancia del punto a los bordes. De esa manera, tendremos que para cualquier punto (x; y) del disco se verificará:



Esto es,cualquier punto dentro del disco cumplirán las cuatro condiciones requeridas para que pertenezca al conjunto A. Por ende, el conjunto es abierto.
2 Cálculo de límites. Calcular los límites siguientes:
a)
b)

Solución
a) . Se trata en este caso de funciones continuas ambas, y su producto está definido en el punto indicado, por lo tanto el producto es continuo allí. Entonces el límite de lafunción es igual al valor de la función, o sea 1.
b) . Usamos la propiedad de que el límite de un producto es igual al producto de los límites.

3 Existencia e inexistencia de límites.
Usar la regla de l’Hôpital para calcular

.

existe?
Solución
a)

Usamos la regla de l’Hôpital tres veces sucesivas, dado que se trataba de casos de “cero sobre cero”. La cuarta vez ya era un límite que se podíacalcular, y así lo hicimos.
b) Examinaremos este límite doble acercándonos al origen a través de dos caminos: por el eje x y por el eje y.

Por el eje x:
(Aprovechamos el resultado anterior).
Por el eje y:



Los límites a través de acercamientos diferentes son distintos, y por ende no existe el límite, de la misma manera que no existía en cálculo de funciones de una variable cuando el límite porizquierda daba distinto del límite por derecha.
4 Más cálculos de límites. Resolver los siguientes límites:
a)
b)

Solución
a) Éste es un cociente de funciones continuas y además definido en el origen, por lo cual la función es continua y su límite es el valor de la función en el origen, vale decir 0.
b) En este caso, si bien las funciones del numerador y el denominador son ambas continuas, el...