Limites y continuidad

Límites y Continuidad

1. Límite de una función en un punto. Propiedades.

A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por [pic][pic]
(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio [pic], podemos encontrar un entorno de a de radio [pic], que depende de [pic], de modo que para cualquier valor de xque esté en el entorno E(a,[pic]) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,[pic]).)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición). [pic][pic]
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1) [pic]siempre que no aparezca la indeterminación [pic].
B2) [pic]con [pic].
B3) [pic]siempre y cuando no aparezca laindeterminación [pic].
B4) [pic]siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones [pic]e [pic].
B5) [pic]con [pic], siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
B6) [pic]siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos [pic].
C) LIMITES LATERALES.
C1) Límite por la izquierda: [pic]
C2) Límite por la derecha: [pic]TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).
TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).
Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale [pic]en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN ELINFINITO.
A1) Límite finito.
[pic][pic]
A2) Límite infinito.
[pic][pic][pic][pic]
Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos [pic]en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.
B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
B1) Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si [pic]oalguno (o ambos) de los límites laterales vale [pic]. Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función
[pic]
B2) Asíntotas horizontales.
Se dice que y = f(x) tieneuna asíntota horizontal en y=b si [pic]. La asíntota puede aparecer cuando [pic]La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando [pic]. Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función
[pic]
B3) Asíntotas oblicuas.
Dada la función y = f(x), sise verifica que
a) [pic] b) [pic] c) [pic] [pic]
entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para [pic]. La asíntota puede aparecer cuando [pic]Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de lafunción
[pic]

3. Cálculo de límites.

A) INDETERMINACIÓN [pic]
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
[pic]
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
[pic]
B) INDETERMINACIÓN [pic]
En la mayoría de los casos basta con efectuar lasoperaciones indicadas.
Ejemplo.-
[pic]
C) INDETERMINACIÓN [pic]
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo.-
[pic]
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
[pic]
D) INDETERMINACIÓN [pic]
En la mayoría de los...