Limites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD

2.3 LIMITES LATERALES

El límite de una función en un punto, se expresa en la siguiente ecuación
[pic]

Límite por la derecha y límite por la izquierda

Al definir el significado de la ecuación 1 tuvimos cuidado de tener en cuenta puntos en ambos lados de “a”. Sin embargo, también es posible manejar límites en los que sólo se tienen en cuenta sus puntos de un ladode “a”. A estos límites se les llama límites laterales.
Al número L se le llama límite por la derecha de f en a si f(x) tiende a L cuando x tiende a “a”, manteniendo la condición de que x>a; el límite por la izquierda es semejante, excepto que sólo se tienen en cuenta los puntos x 0 existe una δ > 0 tal que

Si c < x < c + δ, entonces |f(x) – L| < ε.

Igualmente, si f está definida en unintervalo abierto (a,c) se dice que f tiene límite L por la izquierda, lo cual se escribe
[pic]
Si para cada ε > 0 existe una δ > 0 tal que

Si c - δ < x + c, entonces |f(x) – L| < ε.

Ejercicios:
____
1.- lim f(x) = √4- x² = 0
x →2

|x |y |
|0 |2 |
|0.1 |1.93 |
| 0.5 |1.93 |
|1|1.73 |
|1.5 |1.32 |
|1.8 |0.87 |
|1.999 |0.06 |

Izquierda Derecha
|x |y |
|2.6 |NE |
| 2.5 |NE |
|2.4 |NE |
|2.3 |NE |
|2.2 |NE |
|2.1 |NE |

x→2 y→0¯ No tiene sentido

____
2.- limf(x) = √4- x² = 0
x →-2

|x |y |
|-2.6 |2 |
|-2.5 |1.93 |
| -2.4 |1.93 |
|-2.3 |1.73 |
|-2.2 |1.32 |
|-2.1 |0.87 |

Izquierda Derecha
|x |y |
|0 |2 |
|-0.1 |1.99 |
| -0.5 |1.93 |
|-1 |1.73|
|-1.5 |1.32 |
|-1.8 |0.87 |
|-1.999 |0.06 |

No tiene sentido x→-2 y→0+

_____
3.- lím f(x) = √4- x² = 1.73
x →1

|x |y |
|0 |2 |
|0.1 |1.99 |
| 0.4 |1.95 |
|0.5 |1.93 |
|0.8 |1.83 |
|0.9|0.78 |

Izquierda Derecha
|x |y |
|2 |0 |
|1.8 |0.87 |
| 1.7 |1.05 |
|1.5 |1.32 |
|1.3 |1.51 |
|1.01 |0.72 |

x→1 y→1.73¯ x→1 y→1.73+

4.- lím f(x) = 5 x² - 6x +1 = 9
x →2

|x |y |
|0|1 |
|0.5 |-0.75 |
| 1 |1 |
|1.5 |3.25 |
|1.8 |6.4 |
|1.9 |7.65 |
|1.99 |8.86 |

Izquierda Derecha
|x |y |
|4 |57 |
|3.5 |41.25 |
| 3 |28 |
|2.5 |17.25 |
|2.3|13.65 |
|2.1 |10.45 |
|2.01 |9.14 |

x→2 y→9¯ x→2 y→9+

5.- lím f(x) = 3 x² -6x +9 = 9
x →0

|x |y |
|-2 |33 |
|-1.5 |24.75 |
| -1 |18 |
|-0.8 |12.75 |
|-0.5 |11.07 |
|-0.3 |9.63 |
|-0.01 |9.06|

Izquierda Derecha
|x |y |
|2 |9 |
|1.5 |6.75 |
| 1 |6 |
|0.5 |6.75 |
|0.3 |7.47 |
|0.1 |8.43 |
|0.01 |8.94 |

x→0 y→-9¯ x→0 y→9+

2.5 FUNCIONES CONTINUAS

En matemáticas, una función continua es...